Good Bye 2019

A. Card Game (CF 1270 A)

题目大意

两个人各持有$k_1$、$k_2$张牌，牌序号唯一且在范围$1$~$n$其中$n=k_1+k_2$。一次操作两个各亮出一张牌，谁牌序号大，谁拿对方的牌，最后没牌者输，问先手是否必赢。

解题思路

很显然谁持有最大牌谁赢......

但是$tourist$能在一分钟内读完题并敲好代码提交过了真是太强了。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MIN(a,b) ((((a)<(b)?(a):(b))))
#define MAX(a,b) ((((a)>(b)?(a):(b))))
#define ABS(a) ((((a)>0?(a):-(a))))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<PII> VPII;
typedef vector<LL> VL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef vector<PLL> VPLL;
 
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
int n,k1,k2;
 
int main(void) {
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    int kase; read(kase);
    for (int i = 1; i <= kase; i++) {
        //printf("Case #%d: ", i);
        read(n);
        read(k1);
        read(k2);
        bool qwq=false;
        for(int u,i=1;i<=k1;++i){
            read(u);
            if (u==n) qwq=true;
        }
        for(int u,i=1;i<=k2;++i){
            read(u);
        }
        if (qwq) printf("YES\n");
        else printf("NO\n");
    }
    return 0;
}

---

B. Interesting Subarray (CF 1270 B)

题目大意

给定一个长度为$n$的数组$a$，问是否存在某个区间$[l,r]$，有$max-min\geq k$，其中$max=\max\limits_{i \in [l,r]}(a_i)$，$min=\min\limits_{i \in [l,r]}(a_i)$，$k=r-l+1$，存在则输出$YES$并输出任意一个符合要求的区间，否则输出$NO$.

解题思路

我们考虑一个符合题目条件的区间$[l,r]$，其中最大值和最小值在端点处是最优的选择，不失一般性，我们设最大值在$r$处，最小值在$l$处，则$max-min=(max_1-max_2)+(max_2-max_3)+...+(max_{k-1}-max_k)\geq k$，从中我们可以看出至少有一个$max_i-max_{i+1}>1$，才能有该不等式成立，那也一定有至少一个位置$i$有$abs(a_i-a_{i+1})\geq 2$才行。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MIN(a,b) ((((a)<(b)?(a):(b))))
#define MAX(a,b) ((((a)>(b)?(a):(b))))
#define ABS(a) ((((a)>0?(a):-(a))))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<PII> VPII;
typedef vector<LL> VL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef vector<PLL> VPLL;
 
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
int n,u,v;
 
int main(void) {
    //ios::sync_with_stdio(false);
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    int kase; read(kase);
    for (int i = 1; i <= kase; i++) {
        //printf("Case #%d: ", i);
        read(n);
        read(u);
        bool qwq=false;
        int l=0;
        for(int i=2;i<=n;++i){
            read(v);
            if (ABS(v-u)>1) {qwq=true;l=i-1;}
            u=v;
        }
        if (qwq) printf("YES\n%d %d\n",l,l+1);
        else printf("NO\n");
    }
    return 0;
}

---

C. Make Good (CF 1270 C)

题目大意

给定$n$个正整数，设$n$个数的和为$sum$，异或为$x$,若$sum=2x$则这个序列是$good$的，如果不是$good$，最多可增加三个正整数，使得这个序列变成$good$，求添加数的个数以及数的大小。

解题思路

首先$sum$一定要是偶数，否则我们先加一个数$1$，然后再考虑$sum$和$x$大小。

注意到异或两次同一个数相当于不变，那么如果$sum<2x$，那么我们只要再增加两个同样的数$qwq=\dfrac{2x-sum}{2}$，这样$x$不变，而$sum$也变成了$2x$。

如果$sum>2x$，我们再一开始增加一个超大超大的数，让$sum<2x$即可，由于$sum\leq 10^{15}$，那我们就增加一个$10^{16}$的数，即$2^{50}$，如果$sum$是奇数，就加$2^{50}+1$，然后根据上面的情况即可。

对应代码为注释部分。

这题还有另一种加法，即加两个数$x$和$sum+x$，这样和就变成$2(sum+x)$，异或值变成$sum+x$，这样也符合题意。

还有最优的只用加一个数的方法(如果$sum\neq x$)
即先$x=2*x$后，从低位到高位逐一比较$sum$和$x$的每一位是否相等，如果不相等则添一个在该位为$1$的数，添这个数后只会影响$sum$和$x$的高位，不会影响低位，然后把这些数加起来就得到我们要的那一个数了。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MIN(a,b) ((((a)<(b)?(a):(b))))
#define MAX(a,b) ((((a)>(b)?(a):(b))))
#define ABS(a) ((((a)>0?(a):-(a))))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<PII> VPII;
typedef vector<LL> VL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef vector<PLL> VPLL;
 
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
int main(void) {
    //ios::sync_with_stdio(false);
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    int kase; read(kase);
    for (int i = 1; i <= kase; i++) {
        //printf("Case #%d: ", i);
        int n;
        LL sum,xx,u,a;
        read(n);
        sum=xx=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            read(u);
            sum+=u;
            xx=xx^u;
        }
        printf("2\n%lld %lld\n",xx,xx+sum); //两个数
        /* 
        一个数
        xx<<=1;
        LL ans=0;
        int id=0;
        while(sum||xx){
            if ((sum^xx)&1){
                ans+=(1ll<<id);
                sum++;
                xx^=2;
            }
            sum>>=1;
            xx>>=1;
            ++id;
        }
        if (ans) printf("1\n%lld\n",ans);
        else printf("0\n\n"); 
        */
        /* 
        三个数        
        if ((xx<<1ll)==sum) printf("0\n\n");
        else{
            a=(1ll<<50ll);
            if (sum&1ll) a=a|1ll;
            sum+=a;
            xx=(xx^a);
            xx<<=1;
            LL qwq=xx-sum;
            printf("3\n%lld %lld %lld\n",a,(qwq>>1),(qwq>>1));
        } 
        */
    }
    return 0;
}

---

D. Strange Device (CF 1270 D)

题目大意

交互题。

给定$n$和$k$，以及一个你并不知道长度为$n$的数俩俩不同的数列和$m$，每次你可以问$k$个互不相同的下标，对方会告诉你这些下标对应的值里，从小到大排列第$m$个小数的位置和值。不能问多于$n$次。最后你的程序要猜出$m$值。

解题思路

一开始妄图想找到$k$个数然后问它们一波得到$m$值结果不可行。然后妄图用并查集维护每个数在$m$的左边还是右边发现数太多了不可控$qwq$所以我们要考虑少点的数，比如就前$k+1$个数，每次我们选这其中的$k$个数，相当于把其中的一个数从$k+1$个数中剔除，然后我们考虑这个剔除的数对第$m$个数的影响。

假设在这$k+1$个数中，第$m$个数的值为$a$，则如果剔除的一个数$i$小于等于$a$，则第$m$个数会变成另一个数$b$，如果大于$a$，则第$m$个数还是$a$。纵观我们剔除$k+1$次的结果，可以知道数$a$会出现$k+1-m次$，而数$b$会出现$m$次，于是我们统计较大的数出现的次数就是答案$m$。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MIN(a,b) ((((a)<(b)?(a):(b))))
#define MAX(a,b) ((((a)>(b)?(a):(b))))
#define ABS(a) ((((a)>0?(a):-(a))))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<PII> VPII;
typedef vector<LL> VL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef vector<PLL> VPLL;
 
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
int main(void) {
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    //freopen("output.txt", "w", stdout);
    int n,k;
    read(n);
    read(k);
    vector<bool> sign(k+2,false);
    int ma=0,cnt=0;
    for(int i=1;i<=k+1;++i){
        sign[i]=true;
        sign[i-1]=false;
        printf("? ");
        for(int j=1;j<=k+1;++j) if (!sign[j]) printf("%d ",j);
        puts("");
        fflush(stdout);
        int u,v;
        read(u);read(v);
        if (ma<v){cnt=1;ma=v;}else if (ma==v) ++cnt;
    }
    printf("! %d\n",cnt);
    fflush(stdout);
    return 0;
}

---

E. Divide Points (CF 1270 E)

题目大意

给出$n$个点坐标，要求将它们分成两个非空集$A$、$B$，使得没有同组的点距离与不同组的点距离相同。

解题思路

由于$n$不大，一开始想着枚举所有距离然后排序，把有相同距离的点对分到同一个组，然后构造了两个反例$qwq$，一个是所有点分布呈以一个点为圆心的圆上，另一个是两个圆emmmmm。

我们试着根据点的坐标性质进行分类，所有点坐标在$mod\ 2$的意义下我们可以分成四类：$(0,0)\ (0,1)\ (1,0)\ (1,1)$，如果我们对于属于同类的点都放在一个集合里时，它们的$x$、$y$坐标差一定是偶数，这样它们的距离的平方就一定是偶数，这启示我们，如果不同组的点距离的平方是奇数的话，那么就一定没有同组的点距离与不同组的点距离相同。经过分析我们可以知道，点坐标属于$(0,0)$或$(1,1)$的点与点坐标属于$(1,0)$或$(0,1)$的点的距离一定是奇数。那么我们就把点坐标属于$(0,0)$或$(1,1)$放在$A$，点坐标属于$(1,0)$或$(0,1)$放在$B$即可。再综合一下就是点坐标和是偶数的放在$A$，点坐标和是奇数的放在$B$。

那要是没有点坐标和是奇数或偶数的怎么办？我们先选定一个点为原点进行整体平移，这样就一定有坐标和为偶数的点。如果没有坐标和是奇数点的话，此时所有点坐标和都为偶数，但我们注意到，如果点属于$(0,0)$的，它们点的距离的平方是$4$的倍数，而点属于$(1,1)$的，它们点的距离的平方除以4会余2，这样我们就把$(0,0)$放在$A$，$(1,1)$放在$B$即可。若没有$(1,1)$的点的话，我们对全部坐标都除以$2$，这样所有点的距离的平方都会除以$4$，但该相等的还是相等，不相等的还是不相等，不影响我们的判断。由于坐标最大不超过$10^6$，故除以$2$的次数不会超过$\log_2 10^6$，重复以上操作即可。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MIN(a,b) ((((a)<(b)?(a):(b))))
#define MAX(a,b) ((((a)>(b)?(a):(b))))
#define ABS(a) ((((a)>0?(a):-(a))))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<PII> VPII;
typedef vector<LL> VL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef vector<PLL> VPLL;
 
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
int main(void) {
    //ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    /* int kase; read(kase);
    for (int i = 1; i <= kase; i++) {
        printf("Case #%d: ", i);
    } */
    int n;
    read(n);
    vector<int>x,y;
    for(int u,v,i=0;i<n;++i){
        read(u);read(v);
        x.push_back(u);
        y.push_back(v);
    }
    for(int i=1;i<n;++i){
        x[i]-=x[0];
        y[i]-=y[0];
    }
    x[0]=y[0]=0;
    while(1){
        vector<int> qwq;
        for(int i=1;i<n;++i) 
            if ((x[i]+y[i])&1) qwq.push_back(i);
        if (!qwq.empty()){
            printf("%d\n",(int)qwq.size());
            for(int i:qwq){
                printf("%d ",i+1);
            }
            puts("");
            return 0;
        }
        for(int i=1;i<n;++i)
            if (x[i]&1) qwq.push_back(i);
        if (!qwq.empty()){
            printf("%d\n",(int)qwq.size());
            for(int i:qwq){
                printf("%d ",i+1);
            }
            puts("");
            return 0;
        }
        for(int i=1;i<n;++i){
            x[i]>>=1;
            y[i]>>=1;
        }
    }
    return 0;
}

---

G. Subset with Zero Sum (CF 1270 G)

题目大意

给定一个长度为$n$的数组$a$，其中第$i$个元素$a_i$满足：$i-n\leq a_i\leq i-1$，请选择一些数使得它们和为$0$，并输出它们的位置。保证有解，若有多解，输出任意一种即可。

解题思路

这题思路清奇......
我们将$i-n\leq a_i\leq i-1$变形得到$1\leq i-a_i\leq n$。
注意到$i-a_i$仍在$[1,n]$的范围，我们构造一张有向图，第$i$个点连向第$i-a_i$个点。由于每个点都有条出边，那么一定会有一个环，我们考虑环上的点$i_1,i_2,i_3,...,i_k$，分别有：

• $i_1-a_{i_1}=i_2$
• $i_2-a_{i_2}=i_3$
• $i_3-a_{i_3}=i_4$
• $i_4-a_{i_4}=i_5$
• ......
• $i_k-a_{i_k}=i_1$

累加得$a_{i_1}+a_{i_2}+a_{i_3}+......+a_{i_k}=0$这样我们就找到了一组符合题目要求的$i_1,i_2,i_3,...,i_k$。
（这脑洞是有多大……）

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MIN(a,b) ((((a)<(b)?(a):(b))))
#define MAX(a,b) ((((a)>(b)?(a):(b))))
#define ABS(a) ((((a)>0?(a):-(a))))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<PII> VPII;
typedef vector<LL> VL;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef vector<PLL> VPLL;
 
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
int main(void) {
    //ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    int kase; read(kase);
    for (int i = 1; i <= kase; i++) {
        //printf("Case #%d: ", i);
        int n;
        read(n);
        vector<int> a(n+1);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            read(a[i]);
        vector<bool> visit(n+1,false);
        int qwq=1;
        while(!visit[qwq]){
            visit[qwq]=true;
            qwq=qwq-a[qwq];
        }
        vector<int> ans;
        ans.push_back(qwq);
        int qaq=qwq-a[qwq];
        while(qaq!=qwq){
            ans.push_back(qaq);
            qaq=qaq-a[qaq];
        }
        printf("%d\n",(int)ans.size());
        for(int i:ans) printf("%d ",i);
        puts("");
    }
    return 0;
}

---

May 2020 will be the year of high ratings for the hard workers.