树和二叉树的基本概念

一、树的定义

　　　　由一个或多个（n≥0）结点组成的有限集合T，有且仅有一个结点称为根（root），当n＞1时，其余的结点分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T^1, T^2，....，T^m。每个集合本身又是一颗树，被称为这个根的子树。

注1：过去许多书籍中都定义树为n>1，曾经有“空树不是树”的说法，但现在树的定义已修改。

注2：树的定义具有递归性，即树中有树

二、树的术语

根————即根结点（没有前驱）

叶子———即终端结点（没有后继）

森林———指m棵不相交的树的集合（例如删除A后的子树个数）

有序树——结点各子树从左至右有序排列，不能互换（左为第一）

无序树——结点各子树可互换位置

双亲———即上层的哪个结点（直接前驱）Parent

孩子———即下层结点的子树（直接后继）Child

兄弟———同一双亲下的同层结点（孩子之间互称兄弟）Sibling

堂兄弟——即双亲位于同一层的结点（但并非同一双亲）Cousin

祖先———即从根到该结点所经分支的所有结点

子孙———即该结点下层树中的任一结点

结点———即树的数据元素

结点的度—结点挂接的子树数（有几个直接后继就有几度，或称“次数”）

结点的层次——从根到该结点的层数（根结点算第一层）

终端结点—即度为0的结点，即叶子

分支结点—除树根以外的结点（也称为内部结点）

树的度——所有结点度中的最大值（Max｛各结点的度｝）

树的深度—指所有结点中最大的层数（Max｛各结点的层次｝）或高度

3、树的表示法（百度查资料）

1、图形表示法

2、嵌套集合表示法

3、广义表表示法

4、目录表示法

5、左孩子-右孩子表示法（二叉树）

 

4、树的逻辑结构

树的特点是1对多（1：n），有多个直接后继（如家谱树、目录树等），但只有一个根结点，且子树之间互不相交。

5、树的存储结构

树虽是非线性结构，但仍然有顺序存储、链式存储等方式。

讨论1：树的顺序存储方案应该怎样制定？

可规定为：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。

重大缺陷：复原困难

讨论2：树的链式存储方案应该怎样知道？

可用多重链表：一个直接前驱、n个直接后继指针。

细节问题：树中结点 的结构类型样式该如何设计？即应该设计成“等长”还是“不等长”？

缺点：等长结构太浪费（每个结点的度不一定相同）；

　　不等长结构太复制（要定义多种结构类型）

（使用链表存储后继结点，或改为二叉树）

6、树的运算

要明确：

1、普通树（即多叉树）若不转化为二叉树，则运算很难实现。

2、二叉树的运算仍然是插入、删除、修改、查找、排序等，但这些操作都必须建立在对树结点能够“遍历”的基础上。

（遍历——指每个结点都被访问且仅访问一次，不遗漏不重复）

7、二叉树

二叉树的结构最简单，规律性最强；

可以证明，所有的树都能转化为唯一对应的二叉树，不失一般性。

8、二叉树的定义

定义：n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根节点以及两颗互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

逻辑结构：一对二（1：2）

基本特征：

1、每个结点最多只有两颗子树（不存在度＞2的结点）。

2、左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。

9、二叉树的性质

1、在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）。

2、深度为k的二叉树至多有(2^k)-1个结点（k>0）。

3、满二叉树：一颗深度为k且有（2^k)-1个结点的二叉树。（特点：，每层都“充满”了结点）

4、完全二叉树：深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。（特点：只有最后一层叶子不满，且全部集中在左边），这其实是顺序二叉树的含义。

5、满二叉树与完全二叉树在顺序存储方式下可以复原。

6、对完全二叉树，若从上至下，从左至右编号，则编号为i的结点，其左子树编号必为2i，其右子树编号必为2i+1，其双亲的编号必为i/2（i=1时为根，除外）。

对于第k层中的编号为i的元素，在第k层中前面有x=i-2^(k-1)个元素，在第k层中后面有y=2^(k-1)-1-x个元素，则其左孩子编号为：

i+y+2x+i=i+2^(l-1)-1-x=2x+1=i+2^(k-1)+x=i+2^(k-1)+i-2^(k-1)-2i

则其右孩子编号为：

i+y+2x+2=2i+1

对于左右孩子，其双亲结点编号必然为i/2。