树状数组总结
树状数组
（一）树状数组基础
一、二进制拆分
我们知道，对于任意的非负整数 \(n\) ，可表示为：
不妨设 \(i_1>i_2>\cdots >i_m\) ，进一步地，区间 \([1,x]\) 可以分成 \(O(log_2x)\) 个小区间：
-
长度为 \(2^{i_1}\) 的小区间 \([1,2^{i_1}]\)
-
长度为 \(2^{i_2}\) 的小区间 \([2^{i_1}+1,2^{i_1}+2^{i_2}]\)
-
长度为 \(2^{i_3}\) 的小区间 \([2^{i_1}+2^{i_2}+1,2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}]\)
\(\cdots \cdots\)
\(\quad\) m. 长度为 \(2^{i_m}\) 的小区间 \([2^{i_1}+2^{i_2}+\cdots +2^{i_{m-1}}+1,2^{i_1}+2^{i_2}+2^{i_3}+\cdots +2^{i_m}]\)
一个不难发现的规律是，若区间设为 \([L,R]\) ，
那么区间长度等于 \(R\) 的 “二进制拆分” 结果的 \(2^{i_1}\)，即 \(lowbit( R )\)。
如区间 \([1,7]\) 可分成 \([1,4]\) , \([5,6]\) 和 \([7,7]\) 三个小区间，
长度分别为 \(lowbit(4)=4\) ， \(lowbit(6)=2\) 和 \(lowbit(7)=1\) 。
二、树状数组
树状数组就是一种基于 “二进制拆分” 思想的数据结构，我们建立一个数组 \(c\) ，
其中 \(c_i\) 保存要维护的原数组 \(a\) 的区间$ [x−lowbit(x)+1,x]$ 中所有数的和，
即 \(\displaystyle\sum ^x _{j=x−lowbit(x)+1}A[i]\) 。
事实上，数组 \(c\) 可以看做如下图的一个树形结构，
最下面一行为 \(N\) 个叶节点，代表数值 \(a[i\sim n]\) 。
性质：
- 每个内部节点 \(c[x]\) 保存以它为根的子树中所有叶节点的和；
- 每个内部节点 \(c[x]\) 的子节点个数等于 \(lowbit(x)\) 的位数；
- 除树根外，每个内部节点 \(c[i]\) 的父节点是 \(c[x+lowbit(x)]\)；
- 树的深度为 \(O(log N)\) 。
查询前缀和 \(O(logN)\) ：
int ask(int x)
{
int ans=0;
while(x)
{
ans+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
单点增加 \(O(logN)\) ：
void add(int x,int y)
{
while(x<=n)
{
c[x]+=y;
x+=lowbit(x);
}
}
初始化：
1. 简便写法 \(O(NlogN)\)
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1;i<=n;i++)
add(i,a[i]);
2. 高效写法 \(O(N)\)
从小大依次考虑每个节点 \(x\) ，借助 \(lowbit\) 运算扫描它的子叶子并求和，树形结构中的每条边只会被遍历一次。
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i]=s[i-1]+a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
c[i]=s[i]-s[i-lowbit(i)];
时间复杂度为：
Example: 单点修改，区间查询
输入一个数列 \(a_1, a_2, \cdots , a_n (1 \leq n \leq 100000)\)，
在数列上进行 \(m(1 \leq m \leq 100000)\) 次操作，操作有以下两种：
格式为 \(C \ I \ X\)，其中 \(C\) 为字符 "\(C\) "，\(I\) 和 \(X(1 \leq I \leq n, |X| \leq 10000)\) 都是整数，表示把把 \(a[I]\) 改为 \(X\)
格式为 \(Q \ L \ R\)，其中 \(Q\) 为字符 "\(Q\) "，\(L\) 和 \(R\) 表示询问区间为 \([L,R] (1 \leq L \leq R \leq n)\)，表示询问 \(A[L]+ \cdots +A[R]\) 的值。
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a;
scanf("%d",&a);
add(i,a);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
char s;
int b,d;
scanf("\n%c %d%d",&s,&b,&d);
if(s=='C') add(b,d-(ask(b)-ask(b-1)));
else printf("%d\n",ask(d)-ask(b-1));
}
（二）树状数组拓展
一、树状数组与逆序对
任意给定一个集合 \(a\)，如果用 \(t[val]\) 存储 \(val\) 在集合 \(a\) 中出现的次数，
那么数组 \(t\) 在 \([l,r]\) 上的区间和（即 \(\sum ^r _{i=l} t[i]\)）就表示集合 \(a\) 在 \([l,r]\) 中的数有多少个。
因此，我们可以在集合 \(a\) 的数值范围上建立一个树状数组，维护 \(t\) 的前缀和。
这样就可以高效地统计在集合 \(a\) 中插入或删除一个数。
Example1: 逆序对统计 Luogu P1908
给定一个整数序列 \(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)，如果存在 \(i< j\) 并且 \(a_i>a_j\) ，那么我们称之为逆序对。
求逆序对的数目。
利用上述思路，我们可以利用树状数组求出逆序对个数，解法如下：
-
在序列 \(a\) 的数值范围上建立树状数组 \(t\)，初值为 \(0\)。
-
倒序扫描序列 \(a\)，对于每个数 \(a[i]\)：
(1) 在 \(t\) 中查询 \(1 \sim a[i]-1\) 的前缀和，累加到 \(ans\) 中；
(2) 把位置为 \(a[i]\) 的数加 \(1\)（即 \(t[a[i]]+1\)），表示数值 \(a[i]\) 又出现了一次。
-
\(ans\) 即为所求。
for(int i=n;i>=1;i--)
{
ans+=ask(a[i]-1);
add(a[i],1);
}
printf("%lld\n",ans);
Tips:
因为倒序扫描，“已经出现过的数” 就是在 \(a[i]\) 后面的数。
这个数 \(x \in [i,a[i]-1]\)（即比 \(a[i]\) 小），又在 \(a[i]\) 后面，满足逆序对定义。
Example2: 楼兰图腾 AcWing241
平面上有 $N(N \leq 10^5 ) $个点，每个点的横、纵坐标的范围都是 \(1 \sim N\)，任意两个点的横、纵坐标都不相同。
若三个点 \((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)\) 满足 \(x1< x2< x3,y1> y2\) 并且 \(y3> y2\)，则称这三个点构成 "\(V\)" 字图腾。
若三个点 \((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)\) 满足 \(x1< x2< x3,y1< y2\) 并且 \(y3< y2\)，则称这三个点构成 "\(A\)" 字图腾。
求平面上 "\(V\)" 和 "\(A\)" 字图腾的个数。
- 将 \(n\) 个点排序，记序列为 \(a\)。
- 倒序扫描 \(a\)，求 \(a[i]\) 后面有几个数比它大，记为 \(ans1[i]\)；
- 正序扫描 \(a\)，求 \(a[i]\) 前面有几个数比它大，记为 \(ans2[i]\)；
- 以 \(i\) 为中心的 “\(V\)” 字图腾的个数为 \(ans1[i] \times ans2[i]\)，“\(V\)” 字图腾的总数则为：
同理，可以统计出 “\(A\)” 字图腾的总数。
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans4[i]=ask(a[i]-1);
ans2[i]=ask(n)-ask(a[i]);
add(a[i],1);
}
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=n;i>=1;i--)
{
ans3[i]=ask(a[i]-1);
ans1[i]=ask(n)-ask(a[i]);
add(a[i],1);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
res1+=ans1[i]*ans2[i];
res2+=ans3[i]*ans4[i];
}
printf("%lld %lld\n",res1,res2);
二、树状数组拓展
1. 区间修改和单点查询
- 区间修改
利用前缀和思想，对区间 \([l, r]\) 中的每一个值增加 \(k\)
可以使 \(a[l]+k, a[r+1]-k\)，就可以达到区间修改的效果了
int l,r,k;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
add(l,k);
add(r+1,-k);
- 单点查询
利用前缀和思想，求出前 \(x\) 个数的前缀和
再加上第 \(x\) 个数的值 \(a[x]\)，就可以达到单点查询的效果了
int x;
scanf("%d",&x);
printf("%lld\n",ask(x)+a[x]);
Example: 区间修改单点查询 Luogu P3368
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
- 将某区间每一个数加上 \(x\)；
- 求出某一个数的值。
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a1,x,y,k;
scanf("%d",&a1);
if(a1==1)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
add(x,k);
add(y+1,-k);
}
else
{
scanf("%d",&x);
printf("%lld\n",ask(x)+a[x]);
}
}
2. 区间修改和区间查询
我们已知单点查询求出前 \(x\) 个数的前缀和
那么对于区间查询，统计数每个数的前缀和即可，我们假设前缀和数组为 \(b\)
序列 \(a\) 的前缀和 \(a[1 \sim x]\) 整体增加就是：\(\displaystyle \sum _{i=1} ^x \sum _{j=1} ^i b[j]\)
上式可以改写为：
因此，我们可以建立两个树状数组 \(c_0\) 和 \(c_1\)
\(c_0\) 用来维护 \(b[i]\) 的前缀和，\(c_1\) 用来维护 \(i \times b[i]\) 的前缀和。
void add(int k,int x,int y)
{
while(x<=n)
{
c[k][x]+=y;
x+=lowbit(x);
}
}
LL ask(int k,int x)
{
LL ans=0;
while(x>0)
{
ans+=c[k][x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}
- 区间修改
利用前缀和思想，进行如下操作：
- 在树状数组 \(c_0\) 中，把位置 \(x\) 上的数加 \(k\)
- 在树状数组 \(c_0\) 中，把位置 \(y+1\) 上的数减 \(k\)
- 在树状数组 \(c_1\) 中，把位置 \(x\) 上的数加 \(x \times k\)
- 在树状数组 \(c_1\) 中，把位置 \(y+1\) 上的数减 \((y+1) \times k\)
int x,y,k;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
add(0,x,k);
add(0,y+1,-k);
add(1,x,x*k);
add(1,y+1,-(y+1)*k);
- 区间查询
利用前缀和思想，我们可以将答案拆分成 \(1 \sim x-1\) 和 \(1 \sim y\) 两个部分
两者相减，即为区间和，式子如下：
LL ans1,ans2;
ans1=sum[x-1]+x*ask(0,x-1)-ask(1,x-1);
ans2=sum[y]+(y+1)*ask(0,y)-ask(1,y);
printf("%lld\n",ans2-ans1);
Example 1: A Simple Problem with Integers AcWing243 一个简单的整数问题2
给定一个长度为 \(N\) 的数列 \(A\)，以及 \(M\) 条指令，每条指令可能是以下两种之一：
C l r d，表示把 \(A[l],A[l+1],…,A[r]\) 都加上 \(d\)。Q l r，表示询问数列中第 \(l \sim r\) 个数的和。对于每个询问，输出一个整数表示答案。
for(int i=1;i<=n;i++)
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for(int i=1;i<=q;i++)
{
char a1;
int x,y,k;
scanf("\n%c %d%d",&a1,&x,&y);
if(a1=='C')
{
scanf("%d",&k);
add(0,x,k);
add(0,y+1,-k);
add(1,x,x*k);
add(1,y+1,-(y+1)*k);
}
else
{
LL ans1,ans2;
ans1=sum[x-1]+x*ask(0,x-1)-ask(1,x-1);
ans2=sum[y]+(y+1)*ask(0,y)-ask(1,y);
printf("%lld\n",ans2-ans1);
}
}
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