二叉树知识总结（一）

树的定义：

• 树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合
  • （1）每个结点有零个或多个子结点
  • （2）没有父节点的结点称为根节点
  • （3）每一个非根结点有且只有一个父节点
  • （4）除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。

用到的术语：

 

• 结点的度：结点拥有的子树的数目
• 叶子结点：度为0的结点
• 分支结点：度不为0的结点
• 树的度：树中结点的最大的度
• 层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1
• 树的高度：树中结点的最大层次
• 森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林

 

二叉树：

• 定义：
  • 二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
• 性质：
  • 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2^i-1(i>=1)
  • 性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）
  • 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log₂n)+1
  • 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1

满二叉树，完全二叉树：

• 满二叉树，度为0和2的二叉树；
• 完全二叉树，只有最下面两层节点，度小于2的二叉树；
• 完全二叉树，若设二叉树的高度为h，除第h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
• 完全二叉树，度为1的节点要么为0，要么为1。

一些性质：

• 如果一棵完全二叉树的结点总数为n，那么叶子结点等于n/2（当n为偶数时）或者(n+1)/2（当n为奇数时）
• 定义n为节点总个数，n₀是度为0的个数，n₁是度为1的个数，n₂是度为2个数。
  • 则有n=n₀*0+n₁*1+n₂*2+1 ； n = n₀+n₁+n₂ 。
  • n₀=n₂+1。

树表示：多叉树转成二叉树

• 一个节点的结构：left(指向孩子)，data，right(指向兄弟)；左孩子右兄弟

树的存储：

• 数组中：还原困难；
• 链表中：指针域的个数不定；
• 解决方案，把无序树转换成二叉树，然后两个指针域，左孩子右兄弟。
• 二叉链表示法：一个data域，两个指针域，左孩子右兄弟
• 三叉链表表示法：可以由孩子找到父亲
• 双亲表示法：可以存储不规则的树

数的遍历：      树：a（b(d,e),c(f,g)）

• 先序：根，左子树，右子树   顺序：a,b,d,e,c,f,g
• 中序：左子树，根，右子树   顺序：d,b,e,a,f,c,g
• 后序：左子树，右子树，根   顺序：d,e,b,f,g,c,a　

  //先序遍历
  void xianxuBL(BiTNode * root)
  {
      //递归结束的条件
      if (root == NULL)
      {
          //空节点结束
          return;
      }
      
      //访问根节点
      printf("%c", root->data);
      //遍历左子树
      xianxuBL(root->lChild);
      //遍历右子树
      xianxuBL(root->rChild);
  }
  //中序遍历
  void zhongxuBL(BiTNode * root)
  {
      //递归结束的条件
      if (root == NULL)
      {
          //空节点结束
          return;
      }
  
      //遍历左子树
      zhongxuBL(root->lChild);
      
      //访问根节点
      printf("%c", root->data);
      
      //遍历右子树
      zhongxuBL(root->rChild);
  }
  //后序遍历
  void houxuBL(BiTNode * root)
  {
      //递归结束的条件
      if (root == NULL)
      {
          //空节点结束
          return;
      }
  
      //遍历左子树
      houxuBL(root->lChild);
  
      //遍历右子树
      houxuBL(root->rChild);
  
      //访问根节点
      printf("%c", root->data);
  }