数位DP (递归的思想+记忆化,减少递归次数 )

用于: 统计数位于数位的相关信息的计数问题, 

通常会问在某个区间内, 利用减法思维,这样就会减少一个边界的判断

此时就会只有一个边界, 这个边界 利用 lim 处理, 在暴力枚举的时候不要超过lim 就行了

记忆化搜索递归的过程, 就是一个完全的暴力, 不过有记忆化搜索, 所以他的时间复杂度是 DP的空间+ 点点边界内容

重点是递归的思想 当pos==0 时 ,此时 相当于是一个完整的数了, 就把这个数的单位贡献贡献返回, 前面dp[POS][stament] 保存的就是在这pos之后的说有单位贡献有哪些

前面全是0,会记录所有pos<=n的情况, 

nzero,用于排除前导0的情况,通常是作用于0的贡献

一般就二维dp[][], 第一个维度 是 pos, 第二个维度是 状态, 这个维度来表示什么东西来解决当前问题是核心, 具体就看模板:

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define int long long

const int maxn=1000100;
const int mod=1e9+7;
int t;
int l,r;
int a[maxn],num;
int dp[200][200];

int dfs(int a(postion),int statement,bool lmt){
    
    if(!a) return  ;
    if(!lmt&&dp[x][statement]!=-1) return dp[a][statement];//最高位是0也直接返回 
    int bound=top?p[x]:9;//根据top判断枚举的上界bound 
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=bound;i++) 
    {
        //  状态处理  
        ans += dfs(a-1,statment,lmt&&(i==bound));
        
    }

    if(!lim) dp[a][statement]=ans;
    return ans;
}

int solve(int x){
    int sum=0;
    while(x){
        p[++sum]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(sum,0,1)%mod;//从最高位开始枚举
}

signed main(){
    cin>>t;
    memset(f,-1,sizeof(f));
    while(t--){
        cin>>l>>r;
        cout<<(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod<<'\n';
    }
    return 0;
}

 

 例子: 

题目 :将每一个[l,r]中的数字的每一位的数加起来, L ,R <=1e18;

statement 设置为 前面几位的sum,  dp[i][sum] 表示前几位的sum时,后面一共有多个和

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define int long long

const int maxn=1000100;
const int mod=1e9+7;
int t;
int l,r;
int a[maxn],num;
int f[200][200];

int dfs(int x,int sum,bool top){//我个人认为这很像类似递归算法 
    if(!x) return sum;//如果已经到了最后一位就可以直接返回sum 
    if(!top&&f[x][sum]>=0) return f[x][sum];//最高位是0也直接返回 
    int bound=top?a[x]:9;//根据top判断枚举的上界bound 
    int ret=0;
    for(int i=0;i<=bound;i++) ret=(ret+dfs(x-1,sum+i,top&&i==bound))%mod;
    /*
        这里大概就是说，我当前数位枚举的数是i，然后根据题目的约束条件分类讨论
        去计算不同情况下的个数，这里一定要保存枚举的这个数是合法
    */ 
    if(!top) f[x][sum]=ret;//这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑top，这里就是top就完全不用考虑了*
    return ret;
}

int solve(int x){
    int sum=0;
    while(x){
        a[++sum]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(sum,0,1)%mod;//从最高位开始枚举
}

signed main(){
    cin>>t;
    memset(f,-1,sizeof(f));
    while(t--){
        cin>>l>>r;
        cout<<(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod<<'\n';
    }
    return 0;
}