计算几何小结

计算几何小结！

零，说在前面

（转载请注明原文地址：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/8379553.html ）

这次总结的是计算几何！

根据学长们的观点，计算几何是一类0or100的题目

但是事实上，计算几何题目很考验码力和细节处理能力，以及数学上平几和立体几何那堆东西……

我个人觉得这样的题目是对个人很好的锻炼，虽然我考场上还是只能打暴力罢了2333

那么我们开始总结吧！

一，凸包

这大概是我们的万恶之源了……这里我把之前的凸包总结搬过来

然后续写两句现在的理解

凸包其实是一种最优化的体现，它通过把处理的对象从全集减少到一些“更可能成为最优答案”的点上，从而使我们能更快得到答案

这点尤为体现在DP的斜率优化上

当然，凸包也在数学和几何方面毒瘤着发挥着作用，也有很多巧妙的题目，比如上面那道uoj243破坏导蛋的处理，那个是我的确没有想到的

当然也有关于凸包的很多算法，但是维护凸包的算法只是工具，重要的还是凸包体现的最优化思想

我觉得在我做过的凸包的题里面给我印象最深的就是uoj319分身术了

充分的利用了题目k比较小的条件，维护了子区间的凸包并且合并，从而支持了快速查询

这是我自从联赛前打模拟题（杀蚂蚁等等）以来打过的最考码力的一道题，打完之后的确感觉码力得到提升2333虽然现在还是咸鱼的打不出来

然而如果考出来还是只能打暴力……

二，旋转卡壳

施工ing……

三，半平面交

这玩意其实和高考数学的线性规划是一个东西……

以前的总结正在补……

先写下最近做的题目……

　　UOJ#242 破坏蛋糕

　　　　施工ing……

　　UOJ#243 破坏导蛋

　　　　题意很简洁，但是很巧妙也很难想

　　　　我自己能想出加起来总共70pts……

　　　　前20pts暴力不用说啦……

　　　　中间有20pts坐标范围很小，我们可以维护每个x坐标y的前缀和，然后对于每次询问暴力查询

　　　　这样的复杂度是$O(n+200^{2}+200m)$的，可以通过那部分数据

　　　　然后后面有一个很多直线平行的部分分，我觉得可以对于每种直线，维护每个点ax+by的值，然后查询……

　　　　这个东西应该可以搞个分块维护下，块内存个排序，整块用二分，散点暴力

　　　　这样加起来是70pts

　　　　后面的我还不会做，正在想……

　　　　我们还是怂题解吧，这个太巧妙了

　　　　我们上面那个维护查询的问题是每一种ax+by都要处理一次，但是我们可以发现对于某两个点，他们只会在特定的（a，b）处相等

　　　　这样，不同的序列只有$O(n^{2})$级别

　　　　然后我们考虑分块跑这个$n^2$，然后维护一个bitset表示合法

　　　　……操作很辣眼睛，我只能将近看懂jiry的标程

　　　　啊……我把带注释的std存在这……

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <bitset>
using namespace std;
#define LL long long

const int size=200;
struct point
{
    int x,y;
    double getw(int flag=0)
    {
        if (flag) return atan2(-y,x);
        return atan2(y,x);
    }
    void scan(){scanf("%d%d",&x,&y);}

}A[51000],B[size+10],f[size+10];

point operator - (point k1,point k2) {return (point){k1.x-k2.x,k1.y-k2.y};}
int n,N,m,ans[110000],a[size+10],where[size+10],wa,wb;
double w[size+10];
bitset<size+10>an[110010],C[size+10],tot;
struct ask
{
    int a,b,where;
    LL c;
    double w;
    void set(point k1,point k2)
        {a=k2.y-k1.y,b=-(k2.x-k1.x),c=-((LL)k1.x*a+(LL)k1.y*b),w=atan2(a,b);}

    int pd(point k1){return (LL)k1.x*a+(LL)k1.y*b+c<=0;}

    void rev(){a=-a,b=-b,c=-c,w=atan2(a,b);}
}x[310000];

int compare(ask k1,ask k2){return k1.w<k2.w;}

int compare2(int k1,int k2){return w[k1]<w[k2];}

const double pi=acos(-1);

int compare3(int k1,int k2)//comp ax+by
    {return (LL)B[k1].x*wa+(LL)B[k1].y*wb<(LL)B[k2].x*wa+(LL)B[k2].y*wb;}

struct atom{int u,v;double w;}y[110000];

int len;

LL k1xk2(point k1,point k2){return (LL)k1.x*k2.y-(LL)k1.y*k2.x;}

int compare4(const atom &k1,const atom &k2){return k1.w<k2.w;}

int check(atom k1,atom k2)//两向量平行
{
    point a=B[k1.v]-B[k1.u],b=B[k2.v]-B[k2.u];
    return k1xk2(a,b)==0&&(LL)a.x*b.x>=0&&(LL)a.y*b.y>=0;
}

int check(point k1,point k2)//相当于上面的comp3，比较了ax+by
    {return (LL)k1.x*wa+(LL)k1.y*wb<(LL)k2.x*wa+(LL)k2.y*wb;}

void gopre(int k)//由于a和b的更改带来的顺序更改
{
    while ( where[k]>1 &&check( B[k],B[ a[where[k]-1] ]  ))
    {
        int k1=where[k],k2=a[k1-1];
        swap(a[k1],a[k1-1]);
        swap(f[k1],f[k1-1]);
        C[k1-1][k]=1; C[k1-1][k2]=0;
        where[k]--; where[k2]++;
    }
}
void getw(int k1)
{
    int l=1,r=n+1,ans=n+1;
    LL aa=x[k1].a,b=x[k1].b,c=x[k1].c;
    while (l<r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(aa*f[mid].x+b*f[mid].y+c<=0)l=mid+1;
        else ans=mid,r=mid;
    }
    an[x[k1].id]&=C[ans-1]; 
}


int sign,pd[size+10],s[size+10],head;
void insert(int k1)
{
    if (pd[k1]!=sign)
        pd[k1]=sign,s[++head]=k1;
}


void solve(){
    memset(an,0x00,sizeof an);

    tot=0; 
    for(int i=1;i<=n;i++)tot[i]=1;
    for (int i=1;i<=m/3;i++)an[i]=tot;
    wa=0; wb=-1;

    for (int i=1;i<=n;i++)a[i]=i;
    sort(a+1,a+n+1,compare3);//comp ax+by
    for (int i=1;i<=n;i++)//记录每个点现在的排名，然后f是排序后的结果
        where[a[i]]=i,f[i]=B[a[i]];
    for (int i=1;i<=n;i++)//C是点集前缀和
        C[i]=C[i-1],C[i][a[i]]=1;
    
    len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i^j)//由j指向i的向量，包括id以及……极角？这个极角是什么操作？
                //这大概就是题解中所说的关键点吧……
                //如果按照我昨天推的转化式子这玩意是对的，a等于-y，b等于x
            {
                y[++len]=(atom){  j,i,(B[i]-B[j]).getw(1)  };
                if(B[i].y==B[j].y)
                {
                    if(B[j].x>B[i].x)y[len].w=-pi;
                    else y[len].w=0;
                }
            }
    sort(y+1,y+len+1,compare4);//按极角排序？
    int pre=1,now=1; y[len+1].w=pi;
    for (int i=1;i<=len+1;i++)
    {
        while(now<=m&&x[now].w<=y[i].w)getw(now++);
        //还没达到下一个关键点，现在可以更新答案
        if ( ( i!=len+1  &&  check(y[i],y[i+1])==0    )  || i==len )
        {//到达关键点（与下一个不平行）
            wa=-(B[y[i].v].y-B[y[i].u].y);
            wb=B[y[i].v].x-B[y[i].u].x;
            //
            point pre1=(point){wa,wb};
            if(i==len)wb--;//进行一些偏移

            else 
                wa-=B[y[i+1].v].y-B[y[i+1].u].y,
                wb+=B[y[i+1].v].x-B[y[i+1].u].x;
            if(k1xk2(pre1,(point){wa,wb})==0)//共线？刚才不是判了么？
                wa=pre1.y,wb=-pre1.x;

            head=0;sign++; 
            for (int j=pre;j<=i;j++)
                insert(where[y[j].u]),insert(where[y[j].v]);
            //插入这段时间内新的点
            sort(s+1,s+head+1);
            for (int j=1;j<=head;j++)//进行交换
                gopre(a[s[j]]);
            pre=i+1;
        }
    }
    for (int i=1;i<=m/3;i++) ans[i]+=an[i].count();
}
int main(){



    scanf("%d%d",&N,&m); 
    for (int i=1;i<=N;i++) A[i].scan();
    for (int i=1;i<=m;i++){
        point k1,k2,k3; k1.scan(); k2.scan(); k3.scan();
        x[i*3-2].set(k1,k2);
        x[i*3-1].set(k2,k3);
        x[i*3].set(k3,k1);
        if (x[i*3-2].pd(k3)==0) x[i*3-2].rev();
        if (x[i*3-1].pd(k1)==0) x[i*3-1].rev();
        if (x[i*3].pd(k2)==0) x[i*3].rev();
    }



    m*=3;
    for (int i=1;i<=m;i++) x[i].id=(i-1)/3+1;
    sort(x+1,x+m+1,compare);
    for (int l=1;l<=N;l+=size)
    {
        int r=min(N,l+size-1);
        n=r-l+1;
        for(int i=l;i<=r;i++)
            B[i-l+1]=A[i];
        solve();
    }
    m/=3;
    for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

　　　　

四，Simpson积分

施工ing……

五，没做两道题的其他专题

　　一，平面图转对偶图

　　　　施工ing……

　　二，随机化算法

　　　　1.最小圆覆盖

　　　　施工ing……

　　三，三维几何

　　　　施工ing……

六，总结

施工ing……