罗德里格斯旋转公式证明

罗德里格斯旋转公式证明。

设旋转向量为 $(n, \theta)$ ，设其对应的旋转矩阵为 $R$ ，

如何证明？

R = c o s θ I + n^{\land} s i n θ + (1 - c o s θ) n n^{T}

$R=cos\theta I + n^{\wedge}sin\theta+(1-cos\theta)nn^{T}$

证明过程如下：

如图所示，设旋转向量为 $\hat{A}$ ，记为 $n$ ，设三维中的点 $r$ 绕 $n$ 旋转 $\theta$ 后得到 $r^{'}$ ，其中 $n$ 为单位方向向量，向量 $n$ 的起点为坐标原点。

$r_3$ 为r在 $n$ 上的投影，则

\begin{matrix} (1) & r_{3} = (r \cdot n) n \end{matrix}

$r_3=(r\cdot n)n \tag{1}$

$r_1$ 为r减去r在 $n$ 上面的分量 $r_3$ ，则

\begin{matrix} (2) & r_{1} = r - r_{3} \end{matrix}

$r_1=r-r_3 \tag{2}$

$r_2$ 为 $n$ 与 $r_1$ 的叉乘结果向量，则

\begin{matrix} (3) & r_{2} = n \times r_{1} \end{matrix}

$r_2 = n\times r_1 \tag{3}$

因此， $r_1，r_2，r_3$ 构成了两两垂直的坐标系，但是模长不等于1， $r_1$ 与 $r_2$ 模长相等。

由上图所示， $r^{'}$ 在 $r_1和r_2$ 所在的平面上的投影为 $r^{'}-r_3$ ，则将其用 $r_1和r_2$ 表示有

r^{^{'}} - r_{3} = r_{1} c o s θ + r_{2} s i n θ

$r^{'}-r_3=r_1cos\theta+r_2sin\theta$

则，

\begin{matrix} (4) & r^{^{'}} = r_{1} c o s θ + r_{2} s i n θ + r_{3} \end{matrix}

$r^{'}=r_1cos\theta+r_2sin\theta+r_3 \tag{4}$

综上所述，将(1)(2)(3)代入(4)式，则

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} r^{^{'}} & = (r - r_{3}) c o s θ + (n \times r_{1}) s i n θ + r_{3} \\ = r c o s θ + (n \times r_{1}) s i n θ + (1 - c o s θ) r_{3} \\ = r c o s θ + (n \times (r - r_{3})) s i n θ + (1 - c o s θ) r_{3} \\ = r c o s θ + (n \times r - n \times r_{3}) s i n θ + (1 - c o s θ) r_{3} (由 于 n \times r_{3} = 0) \\ = r c o s θ + n \times r s i n θ + (1 - c o s θ) r_{3} \\ = r c o s θ + n^{\land} s i n θ \cdot r + (1 - c o s θ) (r \cdot n) n \\ = I c o s θ \cdot r + n^{\land} s i n θ \cdot r + (1 - c o s θ) n n^{T} \cdot r \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{aligned} r^{'} &=(r-r_3)cos\theta+(n\times r_1) sin\theta+r_3 \\ &=rcos\theta+(n\times r_1)sin\theta+(1-cos\theta)r_3 \\ &=rcos\theta+(n\times(r-r_3))sin\theta+(1-cos\theta)r_3 \\ &=rcos\theta+(n\times r-n\times r_3)sin\theta+(1-cos\theta)r_3 \space \space(由于n\times r_3 =0)\\ &=rcos\theta+n\times r sin\theta+(1-cos\theta)r_3 \\ &=rcos\theta+n^{\wedge}sin\theta \cdot r+(1-cos\theta)(r\cdot n)n \\ &=Icos\theta\cdot r+n^{\wedge}sin\theta\cdot r+(1-cos\theta) nn^{T}\cdot r \end{aligned} \tag{5}$

设旋转矩阵为R，则 $r^{'}=R\cdot r$ ，由公式(5)可知