证明正则语言和上下文无关语言的交集还是一个上下文无关语言

写在前面

首先，默认读者已经了解 DFA/NFA (Finite Automaton) 的概念，及其和 RE (Regular Expression) 的等价性。

其次，默认读者已经了解 PDA (non-deterministic Pushdown Automaton) 的概念，及其和 CFG (Context-free Grammar) 的等价性。

如果你不知道，可以通过列出的全称来查阅相关资料，总之，这里需要频繁用到 DFA=NFA=RE，PDA=CFG 的性质。

问题背景

起因是 JustinRochester 考了我一个问题：

证明，DFA 和 CFG 的交是 CFG

想了想，干脆直接 PDA 同时模拟 DFA 和 CFG 即可，不过我一拍脑袋想的办法，加之没有图示，加上当时前额叶可能还没长出来，说的不清不楚，特此写一篇博客。

引理 1：PDA 可以模拟 DFA/NFA

这个引理是显然的，PDA 其实就是一个带栈的 NFA，不用栈即可。

引理 2：双状态单栈操作的 PDA 和单状态单栈操作的 PDA 等价

这里的名词定义是笔者自己定义的，仅在本文中有效。

单状态单栈操作的 PDA 就是读者所了解的普通的 PDA。

这里引入一个双状态单栈操作的 PDA 的定义，与普通 PDA 的不同仅在，从一个状态扩充到了两个状态，而对栈的操作仍然相同，一次只能做压入/弹出/压入并弹出/无操作。

主要扩充 2 个内容，以及修改一下起始状态和接受状态：

$G=(Q,\mathrm{\Sigma },\text{Tau},\delta ,[u_0,v_0],F)$：

1. $Q$ 中的每个元素是一个二元组 $[u,v]$，是两个状态；
2. $\delta$ 中的转移是从一个二元组状态经过读取输入和取出栈顶字符后 到 另一个二元组状态并压入字符的过程（注意字符可以是空串 $ϵ$）；
3. $[u_0,v_0]$ 是起始二元组状态；
4. $F$ 是一个接受二元组状态集。

下面证明双状态单栈操作的 PDA 与单状态单栈操作的 PDA 等价。

（$\Leftarrow$）

这个方向没什么好证的，二元组状态 $[u,v]$ 保持 $u=v$ 即可。

（$\Rightarrow$）

构造 PDA $G^{\prime }=(Q^{\prime },\mathrm{\Sigma },\text{Tau},{\delta }^{\prime },q_0,F^{\prime })$：

1. 对 $G$ 中的每个二元组状态 $[u,v]\in Q$，在 $G^{\prime }$ 中有 $q_{u,v}\in Q^{\prime }$；
2. 对 $G$ 中的每个转移函数 $\delta ([u,v],x,\alpha )=([m,n],\beta )$，在 $G^{\prime }$ 中有 $\delta (q_{u,v},x,\alpha )=(q_{m,n},\beta )$，其中 $\alpha ,\beta \in \text{Tau}\cup ϵ$；
3. 对 $G$ 中的起始二元组状态 $[u_0,v_0]$，在 $G^{\prime }$ 中有起始状态 $q_{u_0,v_0}$；
4. 对 $G$ 中的接受二元组状态 $[u_f,v_f]\in F$，在 $G^{\prime }$ 中有接受状态 $q_{u_f,v_f}\in F^{\prime }$。

显然，该单状态单栈操作的 PDA 通过扩充状态集就可以模拟双状态单栈操作的 PDA（扩充到 $n\times m$ 个状态即可），故引理 2 得证。

下证：正则语言和上下文无关语言的交集是双状态单栈操作的 PDA 所能接受的语言

即证明：双状态单栈操作的 PDA 可以模拟 DFA 和 PDA 同时运行的结果。

这里有一个前提，就是 DFA 和 PDA 的字符集 $\mathrm{\Sigma }$ 相同。

对于正则语言 R，存在 DFA $M(Q_1,\mathrm{\Sigma },{\delta }_1,q_1,F_1)$ 识别 R；

对于上下文无关语言 G，存在 PDA $N(Q_2,\mathrm{\Sigma },\text{Tau},{\delta }_2,q_2,F_2)$ 识别 G；

接下来构造双状态单栈操作的 PDA $S=(Q_3,\mathrm{\Sigma },\text{Tau},{\delta }_3,[q_1,q_2],F_3)$ 识别 R$\cap$G：

1. 若状态 $u\in Q_1\wedge v\in Q_2$, 则 $[u,v]\in Q_3$；
2. 若状态 ${\delta }_1(u,\alpha )=m\wedge {\delta }_2(v,\alpha ,\tau )=(n,\theta )$, 则 ${\delta }_3([u,v],\alpha ,\tau )=([m,n],\theta )$, 其中 $\alpha \in \mathrm{\Sigma }$ 且 $\tau ,\theta \in \text{Tau}$；
3. 若状态 $u_f\in F_1\wedge v_f\in F_2$，则 $[u_f,v_f]\in F_3$。

显然，此时就相当于同时模拟了 M 和 N，并且 M 和 N 都接受时，S 才接受。

又由引理 2，可知存在一个普通的 PDA 与 S 等价，又已知存在 CFG 与普通 PDA 等价，故正则语言和上下文无关语言的交集仍然是一个上下文无关语言，原命题得证！

$Q.E.D!$

后记

这里聪明的读者可能会思考：双状态单栈操作的 PDA 是否也可以模拟 CFL 和 CFL 的交？

我们知道 PDA 不具有封闭性，两台 PDA 就可以模拟 TM (Turing Machine) 了，所能接受的语言大相径庭，而有一个例子（JustinRochester 告诉我的），$0^n{1}^n{2}^m$ 和 $0^m{1}^n{2}^n$ 的交是 $0^n{1}^n{2}^n$，显然前二者是上下文无关的，而第三者在《计算理论导引》一书上，已经可以用 CFL 泵引理证明非上下文无关了。

那么笔者的双状态单栈操作的 PDA 在此时会出什么问题呢？显然，问题就出在不断重复提到的“单栈操作”上，如果是两个 PDA 同时运行，他们都需要用到栈。而如果是一个 PDA 一个 DFA，栈只被 PDA 独享，后者不需要用到栈。

后记 2

笔者还想到了一种废弃的判定 DFA 是否接受的办法，即在运行 DFA 前，压入一个特殊字符，在 DFA 接受后，弹出这个特殊字符，表示 DFA 接受。经过思考之后，好像并不适用于交问题，但是也许可以用在 RE 和 CFL 的连接语言上。 连接问题也没必要用，直接转 DFA 为 PDA 然后上一个机子的接受状态空转移到下一个机子的起始状态就行。