The 2021 CCPC Guangzhou Onsite - K. Magus Night 题解
题意
Marisa Kirisame 有 \(n\) 个魔法珠,他可以进行一次充能,使得每个珠子 \(s_i\) 随机充能到 \([1,m]\) 的一个值,如果这些珠子的魔法值的 \(gcd\leq p\) 且 \(lcm\geq q\) 那么这算一次成功的充能,带来 \(\prod_{i=0}^n s_i\) 的贡献,否则贡献为 \(0\) ,记贡献期望值为 \(E\) ,要求输出 \(E \cdot m^n \ mod\ \ 998\ 244\ 353\) 的结果
思路
容斥套容斥套容斥,三层容斥,赛上没想到这么多层,也没想到gcd限制+lcm限制下是可以在2s内跑出来的,麻了
划分
先来个容斥:由于 \(lcm\geq p\) 的条件不好求贡献,考虑转换为 \(lcm<p\) 后枚举 \(lcm\)(因为枚举 \(lcm\geq p\) 的话,要注意到 \(lcm\) 会超过 \(m\) )
记(写法可能不标准)
对数组 \(S = \{s_1,s_2,s_3, \dots ,s_n\}\)
故
Z
复杂度 \(O(log\ n)\)
B
如果你不会求这个……那么你应该学习 luogu P4450 后再来看这篇题解
总体来说,就是枚举 \(s_i\) 为 \(1,2,3,\dots ,m\) 的倍数后乘上一个对应的莫比乌斯函数
贡献即为( \(k\) 表示 \(gcd=k\) 时的贡献)
复杂度\(O(m\cdot log\ m \cdot log\ n)\)
C
前方容斥套容斥警告
记 \(f(j)\) 表示 \(lcm(S)=j\) 时的贡献
后面那个 \(\sum d\) 可以预处理一下
所以 \(C\) 的贡献是
复杂度O(能过)
复杂度我也分析不清楚,但是不会超过\(O(m\cdot log\ m \cdot log^2\ p)\) ,预处理 \(\sum d\) 下
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
const int N = 2e5+6;
vector<int> divs[N];
i64 dsum[N] = {0};
int prms[N],cnt=0,mob[N];
bool notP[N] = {false};
const int MOD = 998244353;
i64 qpow(i64 b,int p) {
i64 ret=1;
for(;p;p>>=1,b=b*b%MOD) if(p&1) ret = ret*b%MOD;
return ret;
}
void get_mob() {
mob[1] = 1;
for(int i=2;i<N;++i) {
if(!notP[i]) {
prms[cnt] = i;
++cnt;
mob[i] = -1;
}
for(int j=0;j<cnt;++j) {
if(i*prms[j]>=N) break;
mob[i*prms[j]] = -mob[i];
notP[i*prms[j]] = true;
if(i%prms[j]==0) {
mob[i*prms[j]] = 0;
break;
}
}
}
}
void norm(i64 &x) {
while(x >= MOD) x -= MOD;
while(x < 0) x += MOD;
}
void get_d() {
for(int i=1;i<N;++i) {
for(int j=i;j<N;j+=i) {
divs[j].push_back(i);
dsum[j] += i;
norm(dsum[j]);
}
}
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
get_mob();
get_d();
i64 n;
int m,p,q;
cin >> n >> m >> p >> q;
for(int i=0;i<N;++i) {
dsum[i] = qpow(dsum[i],n);
}
i64 ans2=0,ans3=0,ans4=0;
// 2
for(int k=q+1;k<=m;++k) {
int M = m/k;
for(int i=1;i<=M;++i) {
ans2 += mob[i] * qpow(1ll*(M/i)*(M/i+1)/2%MOD*i%MOD*k%MOD, n);
norm(ans2);
}
}
// cout << ans2 << endl;
// 3
for(int k=1;k<=q;++k) {
int M = m/k;
for(int i=1;i<=M;++i) {
i64 tmp = 0;
int P = (p-1)/i/k;
for(int j=1;j<=P;++j) {
for(int d : divs[j]) {
tmp += mob[j/d] * dsum[d] % MOD;
norm(tmp);
}
}
ans3 += mob[i] * tmp * qpow(i*k%MOD,n) % MOD;
norm(ans3);
}
}
// cout << ans3 << endl;
// 4
ans4 = qpow(1ll*m*(m+1)/2%MOD,n);
i64 ans = ans4 - ans2 - ans3;
norm(ans);
cout << ans;
return 0;
}