COMPFEST 13 Finals Online Mirror, cf-1575G. GCD Festival 题解

题意

给定一个n长度的数组a，要你计算

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(a_i,a_j)\cdot gcd(i,j)$$

思路

莫比乌斯反演（其实我觉得这里叫欧拉反演更合适些）

$$gcd(i,j)=\sum _{d|i\wedge d|j}\varphi (d)$$

代入原式

$$Ans=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(a_i,a_j)\cdot \sum _{d|i\wedge d|j}\varphi (d)$$

这里更换贡献计算顺序，枚举d来叠加答案的贡献

不过，在此之前，我们先约定一个符号

$$\sum _{i=d,i+=d}^{n}f(d)$$

$i=d$ 表示 $i$ 的初始值 $i+=d$ 表示 $i$ 的步长（每次$+d$），上面那个 $n$ 表示循环上界（$i\le n$），相当于for(int i=d;i<=n;i+=d)

下面继续计算答案

$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(a_i,a_j)\cdot \sum _{d|i\wedge d|j}\varphi (d)\\ & =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _{i=d,i+=d}^n\sum _{j=d,j+=d}^{n}gcd(a_i,a_j)\\ & =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _{i=d,i+=d}^n\sum _{j=d,j+=d}^n\sum _{x|a_i\wedge x|a_j}\varphi (x)\end{array}$$

同理，我们枚举因子 $x$，考虑什么时候$a_i,a_j$对答案有贡献

$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _{i=d,i+=d}^n\sum _{j=d,j+=d}^n\sum _{x|a_i\wedge x|a_j}\varphi (x)\\ & =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _x\varphi (x)\sum _{i=d,i+=d}^n\sum _{j=d,j+=d}^n[x|a_i\wedge x|a_j]\end{array}$$

其中，$\sum _{i=d,i+=d}^n\sum _{j=d,j+=d}^n[x|a_i\wedge x|a_j]$ 表示当 $x$ 整除 $a_i$ 且 $x$ 整除 $a_j$ 时，有1个贡献。那么我们就可以统计数组 $a$ 中能被 $x$ 整除的数有多少个，求平方（组合数学中的乘法原理）即是 $x$ 当前带来的贡献

公式推导如下

个人感觉写的有点赘余，每一步都只有一小步的化简，但是考虑到数学公式的难以理解，还是写的很冗长，还望和我一样的初学者看的更明白些

(公式中，$\varphi (x)$ 抄漏了, 感谢 猫萌不萌 的指正)

$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _x\varphi (x)\sum _{i=d,i+=d}^n\sum _{j=d,j+=d}^n[x|a_i\wedge x|a_j]\\ & =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _x\varphi (x)(\sum _{i=d,i+=d}^n\sum _{j=d,j+=d}^n[x|a_i]\cdot [x|a_j])\\ & =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _x\varphi (x)(\sum _{i=d,i+=d}^n[x|a_i]\cdot \sum _{j=d,j+=d}^n[x|a_j])\\ & =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _x\varphi (x)(\sum _{i=d,i+=d}^n[x|a_i]\cdot \sum _{i=d,i+=d}^n[x|a_i])\\ & =\sum _{d=1}^n\varphi (d)\sum _x\varphi (x)(\sum _{i=d,i+=d}^n[x|a_i]{)}^2\end{array}$$

好了，到这里，我们就可以考虑如何枚举 $x$ 了，显然枚举到 $n$ 不太实际（复杂度$O(n^2)$），我们考虑转而枚举每个元素的因子，这样的话就是 $O(n\cdot logn\cdot max(|d(a_i)|)$ ，其中$n$来自于枚举 $d$ ，$logn$来自于每次d枚举过程中选择的数（相关证明类似埃氏筛，与log的级数有关），$|d(a_i)|$ 表示 $a_i$ 的因子个数，也就是再去枚举每个数的因子（事先需要筛一次因数），因子个数大概也是log级别，这里由于知识面的不广暂不给出相关证明

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;

const i64 MOD = 1e9+7;
const int MX = 1e5+6;

vector<int> ph(MX);
vector<int> d[MX];

void get_phi() {
    for(int i=0;i<MX;++i) {
        ph[i] = i;
    }
    for(int i=2;i<MX;++i) {
        if(ph[i]==i)
            for(int j=i;j<MX;j+=i) {
                ph[j] -= ph[j]/i;
            }
    }

}
void get_divisor() {
    for(int i=1;i<MX;++i) {
        for(int j=i;j<MX;j+=i) {
            d[j].push_back(i);
        }
    }
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    get_phi();
    get_divisor();

    int n;
    cin >> n;
    vector<i64> a(n+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        cin >> a[i];
    }

    i64 ans = 0;
    vector<int> cnt(MX);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        i64 s1=0;

        for(int j=i;j<=n;j+=i) {
            for(int e : d[a[j]]) {
                ++cnt[e];
            }
        }

        for(int j=i;j<=n;j+=i) {
            for(int e : d[a[j]]) {
                if(cnt[e]) {
                    i64 s2=cnt[e];
                    cnt[e] = 0;
                    s2 *= s2;
                    s2 %= MOD;
                    s2 *= ph[e];
                    s2 %= MOD;

                    s1 += s2;
                    s1 %= MOD;
                }
            }
        }

        ans += ph[i] * s1;
        ans %= MOD;
    }
    cout << ans;

    return 0;
}