集合论 Set Theory

\(\text{简介}\)

集合论是现代数学的基石，提供了数学公理化基础。她可以被认为是一种翻译器，因为现代数学很喜欢不讲人话。

\(\text{集合}\)

集合是包含一些元素的整体，比如点集是包含了点的集合，数集是包含了一些数的集合，一般用大写字母表示一个集合，并用大括号表示包含的元素，例如。

\[A=\{2,3,5,7,11\},B=\{\mathtt{A,B,ABCD,Set}\},S=\{(1,2),(\mathtt{Z,X})\}. \]

集合的性质有二：

1. 无序性：集合内的元素无先后顺序，集合 \(\{114514,1919810\}\) 和集合 \(\{1919810,114514\}\) 是同一集合。

2. 不可重性：集合内的元素不会存在重复，如 \(\{1,1,4,5,1,4\}\) 不是一个合法的集合。

集合的表示有两种：

1. 穷举法：用大括号把元素全部列举后包括起来。如上文中的全部集合。

2. 谓词法：描述出集合内元素的共性，用一个竖线隔开，如集合 \(\{x\ |\ x>1\}\) 表示这个集合内包含所有大于 \(1\) 的数，集合 \(\{x\ | \ x = 2k,k \text{ 是整数}\}\) 表示这个集合内的数都是一个整数的两倍（人话：偶数）。

\(\text{集合的符号与运算}\)

空集合我们用 \(\emptyset\) 表示，一个圆加上一个斜线。任何集合包含空集合。

表示一个元素属于一个集合我们用 \(\in\) 属于符号，如 \(5\in \{2,3,5,7\},-9\in \{x\ |\ x<0\}\)。

表示两个集合相等或不相等就是 \(=\) 等于符号或 \(\neq\) 不等符号，但集合没有比较大小的大于等于符号。

表示一个集合的大小（专有名词叫做基数，虽然没什么用）的符号是 \(|\ |\)，类似于绝对值。比如 \(A=\{1,2,3,4\}\)，则 \(|A|=4\)。

表示一个集合包含另一个集合，我们使用包含符号 \(\subseteq\)，比如 \(\{5,6\}\subseteq\{5\}\)。

如果是包含于（被包含）则符号反过来即可，使用包含于符号 \(\supseteq\)，比如 \(\{x\ |\ x \leq 5\}\supseteq \{x\ |\ x \leq 10\}\)。

子集：被一个母集合包含的集合，比如 \(\{2,3,4\}\) 的子集有 \(\{2\},\{3,4\},\{4\},\{2,3,4\},\emptyset\) 等。

还有一个概念是真包含，如果集合 \(A=B\)，则 \(A\subset B\)，同时 \(B\subseteq A\)，但是真包含要求两个集合不相等，符号是 \(\subsetneq\) 或者 \(\subsetneqq\)，真包含于同理，是 \(\supsetneq\) 或者 \(\supsetneqq\)。

上面符号都有否定形式，就是加一斜线，如 \(\notin\)。

\(\text{各种专有的集合}\)

很多集合有自己的集合符号。

自然数集 \(\mathbb{N}\)；整数集 \(\mathbb{Z}\)；有理数集 \(\mathbb{Q}\)；实数集 \(\mathbb{R}\)；虚数集 \(\mathbb{I}\)；复数集 \(\mathbb{C}\)。

然后描述其子集的方式有在其上角标上标出正负，如正整数集表示为 \(\mathbb{Z^+}\)。

\(\text{集合的运算}\)

集合有三种运算：

1. 交集：表示两个集合共有的部分，使用符号 \(\cap\)，也是一个集合，比如 \(\{2,4,6,9,10\}\cap\{3,6,9,12\}=\{9\}\)，\(\{x\ |\ x \geq 114\} \cap \{y\ |\ y\leq 514\} = \{z\ |\ 114\leq z\leq 514\}\)。（集合内字母的选择无关）。

2. 并集：表示两个集合总共的元素，使用符号 \(\cup\)，也是一个集合，如 \(\{1,9,2,4\}\cup\{2,4,5,7\}=\{1,2,4,5,7,9\}\)。

3. 补集：规定一个集合 \(U\) 为全集，则另一个集合 \(S\) 的补集称为这个集合没有的部分，如若规定集合 \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) 为全集，则 \(S=\{2,3,4\}\) 的补集为 \(\{1,5,6\}\)。

\(\text{补充，附录}\)

逻辑符号：\(\neg\) 非，例如命题 \(p\) 为真，则 \(\neq p\) 为假；\(\wedge\) 且，仅当 \(p,q\) 同时为真，\(p\wedge q\) 为真；\(\vee\) 或，\(p,q\) 中任一为真，\(p\vee q\) 为真。\(\Rightarrow\) 或 \(\Leftarrow\)，表示推导符号，箭头方向即为推导方向，\(p \Rightarrow q\) 表示如果 \(p\)，那么 \(q\)，但不能如果 \(q\)，那么 \(p\)；双条件推导，\(\Leftrightarrow\)，\(p\Leftrightarrow q\) 表示 \(p\) 能推出 \(q\)，反之也可以。

量词符号：

1. 全称量词 \(\forall\)：表示所有的满足条件的，比如一个命题 \(\forall x\in \mathbb{R}\) 都有 \(x^2\geq0\) 是真命题，而 \(\forall a,b\in \mathbb{Z}\)，都满足 \(\frac{a}{b}\in\mathbb{Z}\) 则是一个假命题。

2. 存在量词 \(\exists\)：表示满足条件的中存在至少一个，比如一个命题 \(\exists k < 0\) 是的 \(k^2 + k \geq 0\) 是真命题，但是 \(\exists x,y > 0\) 使得 \(xy < 0\) 则是一个假命题了。

她们也可以混合食用，比如 \(\forall x \in \mathbb{Q},\exists y \in \mathbb{Z^+}\) 使得 \(x\cdot y \in \mathbb{Z}\)，表示对于任意一个有理数，总存在一个正整数使得这两个数的乘积属于整数集。