素性测试Miller Rabin判质数

文章目的：判断一个大数是否是素数

前置定理：1.所有>2的素数都可以唯一地表示成两个平方数之差 p=a^2-b^2

所以p=(a+b)(a-b) 由于 p是素数 所以 a+b=p,a-b=1;

2.费马小定理a^（p-1）≡1（mod p） (gcd(a,p)=1;)

正题：我们根据a^（p-1）≡1（mod p）可以得到一个逆命题（伪）当a<p时如果满足a^（p-1）mod p=1，那么p是一个素数，但经过打表发现是假的。

但只是少数合数满足这个条件，所以我们能够想到，用a=2~m来逐个排除，满足a^（p-1）mod p=1的不一定是素数，但不满足的一定不是，只要其中一个a不满足就一定不是了

But,有些恶心素数仍然满足，所以我们可以用一个新定理 如果p是素数，x是小于p的正整数，且x^2 mod p = 1，要么x=1，要么x=p-1,证明和前置定理1差不多就 x^2-1=py, py=(x+1)(x-1);即p能整除(x+1)(x-1)所以......

然后我们结合不妨将费马小定理和上面的定理：将p-1分解为p-1=d*(2^r)，不断地对d进行平方操作，若发现非平凡平方根时即可判断出其不是素数。例如 2^340 mod 341=1---> 2^170 mod 341=1--->2^85 mod 341==32 所以341不是素数

总结

不断地提取指数p-1中的因子2，把p-1表示成d2^r（其中d是一个奇数）。那么我们需要计算的东西就变成了a的d2^r次方除以n的余数。于是，a^(d 2^(r-1))要么等于1，要么等于n-1。如果a^(d 2^(r-1))等于1，定理继续适用于a^(d 2^(r-2))，这样不断开方开下去，直到对于某个i满足a^(d 2^i) mod n = n-1或者最后指数中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。这样就OK了，但正确率仍然不可100%，但也很高了，建议用8次a来判断

本蒟蒻就说完了，有误请指教

参考文本(https://oi-wiki.org/math/prime/) (http://www.matrix67.com/blog/archives/234)

inline ll ksc(ull x,ull y,ll p){//O(1)快速乘（防爆long long）
    return (x*y-(ull)((lb)x/p*y)*p+p)%p;
}

inline ll ksm(ll x,ll y,ll p){//快速幂
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1)res=ksc(res,x,p);
        x=ksc(x,x,p); y>>=1;
    }return res;
}

inline bool mr(ll x,ll p){
    if(ksm(x,p-1,p)!=1)return 0;//费马小定理
    ll y=p-1,z;
    while(!(y&1)){//一定要是能化成平方的形式
        y>>=1; z=ksm(x,y,p);//计算
        if(z!=1&&z!=p-1)return 0;//不是质数
        if(z==p-1)return 1;//一定要为1，才能继续二次探测//即p能整除(x+1)(x-1)
    }return 1;
}

inline bool prime(ll x){ if(x<2)return 0;
    if(x==2||x==3||x==5||x==7||x==43) return 1;//这里自己看着办
    return mr(2,x)&&mr(3,x)&&mr(5,x)&&mr(7,x)&&mr(43,x);
}