大学物理之电磁场学

第一章 静电场

第一讲 库仑定律

库仑定理——（真空静止点电荷）

$$\begin{array}{}\text{(1)}& F=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\mathit{r}}^0\end{array}$$

其中真空介电常数 ${\epsilon }_0\approx 8.85\times {10}^{-12}{C}^2{N}^{-1}{m}^{-2}$，令 $k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$ 则 $k\approx 9\times {10}^{9}N{m}^2/C^2$，矢量 ${\mathit{r}}^0$ 由施力电荷指向受力电荷

第二讲 电场强度$E$

2.1 电场强度

$$\begin{array}{}\text{(2)}& E=\frac{F}{q_0}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\mathit{r}}^0\end{array}$$

2.2 均匀带电细圆环

圆环轴线上一点 $P$ 的电场强度：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qx}{(R^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$

其中，$x$ 表示 $P$ 点到圆环中心 $O$ 的距离，$R$ 表示圆环半径，$q$ 表示圆环带电量；

2.3 有限长直线段

直线外一点 $P$ 电场强度：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& E_x=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}(cos{\theta }_1-cos{\theta }_2),E_y=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}(sin{\theta }_2-sin{\theta }_1)\end{array}$$

注：在建立坐标系的情况下，上式均带有方向，其中沿 $y$ 轴正向：${\theta }_1\to {\theta }_2$，$\theta$ 为与 $y$ 轴正向夹角；
其中，$a$ 表示 $P$ 点到直线的垂直距离；

2.4 均匀带电无限长直线

由 $2.4$ 推得：令${\theta }_1=0,{\theta }_2=\pi$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& E_x=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}a},E_y=0\end{array}$$

2.5 均匀带电无限大平面

$$\begin{array}{}\text{(6)}& E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\end{array}$$

2.6 无限大均匀带异号电荷平板间

$$\begin{array}{}\text{(7)}& E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\end{array}$$

其中，$\sigma$ 表示每个平板的电荷面密度；

2.7 电偶极子

电偶极矩：$\mathit{p}=q\mathit{l}$
中垂线上一点$P$场强：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& E=-\frac{\mathit{p}}{4\pi {\epsilon }_0{y}^3}(y\gg l)\end{array}$$

共线上一点 $P$ 场强：

$$\begin{array}{}\text{(9)}& E=\frac{2\mathit{p}}{4\pi {\epsilon }_0{x}^3}(x\gg l)\end{array}$$

其中 $\mathit{l}$ 方向由负电荷指向正电荷；

2.8 力偶矩

电偶极子在匀强电场中得力偶矩：

${\mathit{F}}_{+}=q\mathit{E},{\mathit{F}}_{-}=-q\mathit{E}$ $$\begin{array}{}\text{(10)}& M=F_{+}\cdot \frac{1}{2}lsin\theta +F_{-}\cdot \frac{1}{2}lsin\theta =qlEsin\theta \end{array}$$ $\Rightarrow \mathit{M}=q\mathit{l}\times \mathit{E}=\mathit{p}\times \mathit{E}$ 注：电偶极子在电场的作用下总要使 $\mathit{p}$ 转向 $\mathit{E}$ 的方向；

第三讲 电通量 $★$高斯定理

3.1 电通量

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_S\mathit{E}\cdot d\mathit{S}\end{array}$$

3.2 高斯定理

选定高斯面后，电通量：

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_S\mathit{E}\cdot d\mathit{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _{(\mathrm{内})}{q}_i\end{array}$$

3.3 轴对称性电场

无限长均匀带电直线外一点 $P$ 场强：

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\mathrm{\Phi }}_e=\mathit{E}{\oint }_{\mathrm{侧}}d\mathit{S}=2\pi rEl=\frac{1}{{\epsilon }_0}\lambda l\Rightarrow E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\end{array}$$

其中，$r$表示 $P$ 距离导线垂直距离；

3.4 球面对称性电场

均匀带电球面电场分布：

$${\mathrm{\Phi }}_e=\mathit{E}{\oint }_S\mathit{S}=E\cdot 4\pi r^2=\sum _{(\mathrm{内})}{q}_i=q$$

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \Rightarrow E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\mathit{r}}^0(r>R)\end{array}$$

$$\Rightarrow E=0(r<R)$$

3.5 无限大均匀带电平面

选定圆柱面作为高斯面：

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_{\mathrm{左}\mathrm{端}\mathrm{面}}\mathit{E}\cdot d\mathit{S}+{\oint }_{\mathrm{右}\mathrm{端}\mathrm{面}}\mathit{E}\cdot d\mathit{S}=2ES=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sigma S\end{array}$$

$\Rightarrow E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$

3.6 均匀带电圆盘

$$\begin{array}{}\text{(16)}& E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}(1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}})\end{array}$$

3.7 均匀带电球体

$$E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\mathit{r}}_{\mathbf{0}}(r>R)$$

$$E=\frac{\rho }{3{\epsilon }_0}\mathit{r}(r<R)$$

第四讲 静电场的环路定理 电势能

4.1 电场强度环流

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \oint \mathit{E}\cdot d\mathit{l}=0\end{array}$$

环路定理表明静电场是无旋有源场；

4.2 电势能

选定电势能零参考点，则点 $A$ 处的电势能：

$$\begin{array}{}\text{(18)}& w_a=A_{a^{\prime }{0}^{\prime }}={\int }_a^{{}^{\prime }{0}^{\prime }}{q}_0\mathit{E}\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

注：电势能是标量，相对于电势能零参考点有负值；

第五讲 电势 电势差

5.1 电势与电势差

$A$点电势：

$$\begin{array}{}\text{(19)}& u_a=\frac{W_a}{q_0}={\int }_a^{{}^{\prime }{0}^{\prime }}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

注：电势为标量；

$$\begin{array}{}\text{(20)}& U_{ab}=u_a-u_b={\int }_a^b\mathit{E}\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

电荷$q$$a\to b$时，静电力做功：

$$\begin{array}{}\text{(21)}& A_{ab}=q(u_a-u_b)\end{array}$$

5.2 电偶极子电势能

在电场 $\mathit{E}$ 中：

$$\begin{array}{}\text{(22)}& W=-\mathit{p}\cdot \mathit{E}\end{array}$$

当$\mathit{E}$为非均匀电场时，上式应改为积分形式；在电场中做功：

• 方法一

$$W_{{\theta }_1{\theta }_2}=-\mathit{p}\cdot \mathit{E}({\theta }_1)-(-\mathit{p}\cdot \mathit{E}({\theta }_2))$$

• 方法二

$$W_{{\theta }_1{\theta }_2}={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}-\mathit{p}\times \mathit{E}d\theta$$

5.3 电势叠加原理

对于点电荷选取无穷远处作为零电势点：

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(23)}& u_a={\int }_a^{\mathrm{\infty }}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r} \\ {W}_a=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{r}\end{array} \end{gathered}$$

叠加原理——标量叠加

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(24)}& u_a=\sum u_i \\ \Rightarrow u_a={\int }_Q\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r}\end{array} \end{gathered}$$

5.4 电荷分布求电势

积分形式：

$$\begin{array}{}\text{(25)}& u_a={\int }_Q\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r}\end{array}$$

电偶极子外任一点$C$的电势：

$$U_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r_{+}}-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r_{-}}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{-}{r}_{+}}$$

$$\begin{array}{}\text{(26)}& r\gg l\Rightarrow r_{+}{r}_{-}\approx r^2,r_{-}-r_{+}\approx lcos\theta \end{array}$$

$$\Rightarrow u_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathit{p}\cdot \mathit{r}}{r^3}$$

5.5 电场强度求电势

场强与电势关系：

$$\begin{array}{}\text{(27)}& u_a={\int }_a^{\mathrm{\infty }}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

带电体电荷分布具有对称性时，利用高斯定理求出场强分布进而求电势；
【无限长均匀带电圆柱面】
由高斯定理求得电场分布：

$E=0(r\le R)$ $E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}(r>R)$

一般而言，当电荷分布延伸到无穷远时，是不能选取无穷远处为电势零参考点的；

$$u_P={\int }_P^{P_0}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}={\int }_P^{P^{\prime }}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}+{\int }_{P^{\prime }}^{P_0}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}$$

$$\begin{array}{}\text{(29)}& =0+{\int }_r^{r_0}\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}dr=-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r+\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r_0\end{array}$$

$$=-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r+C(r>R)$$

$$u_P={\int }_P^{P_0}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}={\int }_r^R\mathit{E}\cdot d\mathit{l}+{\int }_R^{r_0}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}$$

$$\begin{array}{}\text{(30)}& =0+{\int }_R^{r_0}\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}dr\end{array}$$

$$=-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln R+C(r<R)$$

其中，$C=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln r_0$

5.6 均匀带电球面电势

$V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{R}(r\le R)$ $V(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}(r>R)$

5.7 均匀带电球体电势

球内距离球心$r$处一点$P$电势：

$$u=u_1+u_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{R^3}{r}^2+{\int }_r^R\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{d{q}_2}{r^{\prime }}$$

$$\begin{array}{}\text{(32)}& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{R^3}{r}^2+{\int }_r^R\frac{3Q{r}^{\prime }}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}d{r}^{\prime }\end{array}$$

$$=\frac{Q(3R^2-r^2)}{8\pi {\epsilon }_0{R}^3}(r<R)$$

球外距离球心 $r$ 处一点 $P$ 电势：

$$\begin{array}{}\text{(33)}& u=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}(r\ge R)\end{array}$$

注：在 $P$ 点的电场强度犹如电荷集中在球心处的点电荷在 $P$ 点产生的电场强度一样，故电势同理；

第六讲 电势与场强微分关系

$$E=-\frac{du}{dn},E_l=-\frac{du}{dl}$$

$$\begin{array}{}\text{(34)}& \mathit{E}=-(\frac{\partial u}{\partial x}\mathit{i}+\frac{\partial u}{\partial y}\mathit{j}+\frac{\partial u}{\partial z}\mathit{k}),u(x,y,z)\Rightarrow E(x,y,z)\end{array}$$

第七讲 静电场中的导体 电容

7.1 静电平衡导体表面

电场强度：

$$\begin{array}{}\text{(35)}& \mathit{E}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\mathit{n}\end{array}$$

区别于无限大带电平面产生的电场(缺少静电平衡的条件)：

$$\begin{array}{}\text{(36)}& \mathit{E}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\mathit{n}\end{array}$$

7.2 孤立导体电容

$$\begin{array}{}\text{(37)}& C=\frac{q}{u}\end{array}$$

7.3 平行板电容器电容

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(38)}& C=\frac{q}{u_1-u_2} \\ =\frac{q}{Ed}=\frac{q}{\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}d} \\ =\frac{q}{\frac{qd}{{\epsilon }_{0}S}}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}\end{array} \end{gathered}$$

7.4 球形电容器电容

两球面间电场强度：

$$\begin{array}{}\text{(39)}& E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\end{array}$$

$$u_1-u_2={\int }_{R_1}^{R_2}\mathit{E}\cdot d\mathit{l}={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}dr$$

$$\begin{array}{}\text{(40)}& =\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{R_2-R_1}{R_1{R}_2}\end{array}$$

$$\Rightarrow C=\frac{q}{u_1-u_2}=\frac{4\pi {\epsilon }_0{R}_1{R}_2}{R_2-R_1}$$

7.5 电容器串并联

• 串联

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{C_n}$$

• 并联

$$\begin{array}{}\text{(41)}& C=C_1+C_2+\cdot \cdot \cdot +C_n\end{array}$$

第八讲 静电能

8.1 静电能公式推导

$$U(t)=\frac{q(t)}{C},dA=U(t)dq=\frac{q(t)}{C}dq$$

$$\begin{array}{}\text{(42)}& A=\int dA={\int }_0^Q\frac{q(t)}{C}dq=\frac{Q^2}{2C}Q=CU\end{array}$$

$$⟹A=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}QU\Rightarrow W=A=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}QU$$

8.2 电场能量密度推导

$$U=Ed,C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$$

$$\begin{array}{}\text{(43)}& \Rightarrow W=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^{2}Sd=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^{2}V\end{array}$$

$$\Rightarrow \omega =\frac{W}{V}=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$$

第九讲 电介质的极化 束缚电荷

9.1 电介质

$$\begin{array}{}\text{(44)}& C={\epsilon }_r{C}_0\end{array}$$

其中，${\epsilon }_r$ 称为介质的相对介电常数（相对电容率），$C_0$ 表示真空中对应的电容；因此，除真空中 ${\epsilon }_r=1$ 外，其余 ${\epsilon }_r>1$；

9.2 介质极化

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有极分子 $\Rightarrow$ 取向极化
无极分子 $\Rightarrow$ 位移极化

第十讲 电介质内的电场强度

根据电介质极化原理推导：

$$\mathit{E}={\mathit{E}}_0+{\mathit{E}}^{\prime },E_0=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0},E^{\prime }=\frac{{\sigma }^{\prime }}{{\epsilon }_0}$$

$$\begin{array}{}\text{(45)}& \Rightarrow E=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0}-\frac{{\sigma }^{\prime }}{{\epsilon }_0},E=\frac{E_0}{{\epsilon }_r}\end{array}$$

$$\Rightarrow {\sigma }^{\prime }=(1-\frac{1}{{\epsilon }_r}){\sigma }_0$$

第十一讲 $★$电介质中的高斯定理

11.1 电位移矢量

推导：

$${\iint }_S\mathit{E}\cdot d\mathit{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}({\sigma }_0-{\sigma }^{\prime })S$$

由式(45)得:

$$\frac{1}{{\epsilon }_0}({\sigma }_0-{\sigma }^{\prime })=\frac{{\sigma }_0}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}$$

$${\iint }_S{\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathit{E}\cdot d\mathit{S}={\epsilon }_{0}S=q_0$$

令 $\mathit{D}=\epsilon \mathit{E}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathit{E}$ 得:

$$\begin{array}{}\text{(46)}& {\iint }_S\mathit{D}\cdot d\mathit{S}=q_0\end{array}$$

其中，$D$ 称为电位移矢量或电通密度，$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$ 称为电介质的介电常数；

11.2 电介质中的能量密度

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(47)}& \omega =\frac{1}{2}\mathit{D}\cdot \mathit{E} \\ {\epsilon }_r=1\Rightarrow \omega =\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\end{array} \end{gathered}$$

第二章 恒定电流的磁场

第一讲 磁感应强度$B$

电流元 $Idl$ 所受磁场力：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d\mathit{F}=Id\mathit{l}\times \mathit{B}\end{array}$$

第二讲 毕奥-萨伐尔定律

2.1 电流元的磁场

$$\begin{array}{}\text{(2)}& d\mathit{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathit{l}\times {\mathit{r}}^0}{r^2}\end{array}$$

其中，${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}N/A^2$称为真空磁导率，${\mathit{r}}_0$ 表示到 $P$ 点的单位矢量，$r$ 表示到 $P$ 点的距离；

2.2 运动电荷的磁场

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \mathit{B}=\frac{d\mathit{B}}{dN}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\mathit{v}\times {\mathit{r}}^0}{r^2}\end{array}$$

2.3 载流直导线的磁场

$$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idlsin\theta }{r^2}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \Rightarrow B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}sin\theta d\theta =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}(cos{\theta }_1-cos{\theta }_2)\end{array}$$

$${\theta }_1\approx 0,{\theta }_2\approx \pi \Rightarrow B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

式中，$r$ 表示到载流导线的距离；

2.4 载流圆环的磁场

$$B=\int d{B}_x=\int dBcos\theta =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{Idl}{r^2}cos\theta$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& cos\theta =\frac{R}{r}=\frac{R}{(R^2+x^2{)}^{1/2}}\end{array}$$

$$\Rightarrow B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$$

【$N$匝线圈】

$$\begin{array}{}\text{(6)}& B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^{2}N}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}\end{array}$$

【圆弧磁场】
由式 (5) 令 $x=0$ 得圆心处磁感应强度: $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\cdot \frac{\phi }{2\pi }=\frac{{\mu }_{0}I\phi }{4\pi R}\end{array}$$

2.5 载流线圈的磁矩

由式 (5) 令 $x\gg R$ 则得: $(x^2+R^2)\approx x^2$

$$\Rightarrow B\approx \frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2x^3}=\frac{{\mu }_{0}I\pi R^2}{2\pi x^3}=\frac{{\mu }_{0}IS}{2\pi x^3}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \Rightarrow Define:{\mathit{p}}_m=IS\mathit{n}\end{array}$$

$$\mathit{B}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{{\mathit{p}}_m}{x^3}$$

其中，$\mathit{n}$表示线圈平面正法线方向上的单位矢量；
圆心处的磁感应强度：

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \mathit{B}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\frac{{\mathit{p}}_m}{R^3}\end{array}$$

2.6 无限大均匀载流平面

$$dB=\frac{{\mu }_0\alpha dx}{2\pi \sqrt{r^2+x^2}}$$

由对称性得：$B_x=\int d{B}_x,B_y=\int d{B}_y=0$

$$B=B_x=\int \frac{r}{\sqrt{r^2+x^2}}\cdot \frac{{\mu }_0\alpha dx}{2\pi \sqrt{r^2+x^2}}=\int \frac{{\mu }_0\alpha rdx}{2\pi (r^2+x^2)}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& =\frac{{\mu }_0\alpha r}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{r^2+x^2}dx=\frac{{\mu }_0\alpha }{2}\end{array}$$

$$⟹B=\frac{1}{2}{\mu }_0\alpha$$

式中，$r$ 表示$P$点距到无限大载流平面的距离，$\alpha$ 表示流过单位长度的电流；

2.7 均匀密绕直螺线管

$$dB=\frac{{\mu }_0{R}^{2}d{I}^{\prime }}{2(R^2+l^2{)}^{3/2}}=\frac{{\mu }_0{R}^{2}Indl}{2(R^2+l^2{)}^{3/2}}$$

$$l=Rcot\beta ,dl=-Rcs{c}^2\beta d\beta ,R^2+l^2=R^{2}cs{c}^2\beta$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \Rightarrow dB=-\frac{{\mu }_0}{2}nIsin\beta d\beta \end{array}$$

$$\Rightarrow B={\int }_{{\beta }_1}^{{\beta }_2}-\frac{{\mu }_0}{2}nIsin\beta d\beta =\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(cos{\beta }_2-cos{\beta }_1)$$

【无限长】

$$\begin{array}{}\text{(12)}& L\gg R,{\beta }_1\to \pi ,{\beta }_2\to 0\Rightarrow B={\mu }_{0}nI\end{array}$$

【半无限长】
端点处：

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\beta }_1=\frac{\pi }{2},{\beta }_2\to 0,or{\beta }_1\to \pi ,{\beta }_2=\frac{\pi }{2}\Rightarrow B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}\end{array}$$

式中，$n$ 表示单位长度上的线圈匝数；

2.8 均匀密绕圆环螺线管

$$B=n\mu I$$

第三讲 磁通量 磁场的高斯定理

3.1 磁通量

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\mathrm{\Phi }}_m={\int }_S\mathit{B}\cdot d\mathit{S}\end{array}$$

3.2 高斯定理

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\oint }_S\mathit{B}\cdot d\mathit{S}=0\end{array}$$

第四讲 $★$安培环路定理

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\oint }_L\mathit{B}\cdot d\mathit{l}={\mu }_0\sum _{(\mathrm{内})}{I}_i\end{array}$$

式中，$I_i$ 的正（负）取决于电流方向与闭合路径 $L$ 绕行方向满足（不满足）右螺旋法则；$B$ 表示闭合路径 $L$ 内外所有电流产生的总磁感应强度；
【无限大载流平面】

$${\oint }_L\mathit{B}\cdot d\mathit{l}={\int }_{PQ}\mathit{B}\cdot d\mathit{l}+{\int }_{QR}\mathit{B}\cdot d\mathit{l}+{\int }_{RS}\mathit{B}\cdot d\mathit{l}+{\int }_{SP}\mathit{B}\cdot d\mathit{l}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& =Bx+0+Bx+0=2Bx={\mu }_0\alpha x\end{array}$$

$$\Rightarrow B=\frac{1}{2}{\mu }_0\alpha$$

第五讲 磁场对电流作用

5.1 载流导线

所受安培力：

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \mathit{F}={\int }_{L}Id\mathit{l}\times \mathit{B}\end{array}$$

5.2 载流线圈

所受磁力矩：

$$M=F_{ab}{l}_{1}sin\phi =BI{l}_1{l}_{2}sin\phi =BISsin\phi$$

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\mathit{p}}_m=IS\mathit{n}\end{array}$$

$$\Rightarrow \mathit{M}={\mathit{p}}_m\times \mathit{B}$$

式中，$\mathit{n}$ 的方向按电流方向用右螺旋法则确定；

5.3 磁力的功

$$A=F\overline{a{a}^{\prime }}=BIl\overline{a{a}^{\prime }}=BI△S=I△\mathrm{\Phi }$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \Rightarrow A={\int }_{{\mathrm{\Phi }}_1}^{{\mathrm{\Phi }}_2}Id\mathrm{\Phi }=I({\mathrm{\Phi }}_2-{\mathrm{\Phi }}_1)=I△\mathrm{\Phi }\end{array}$$

5.4 磁偶极子势能

载流线圈相当于磁偶极子，因此载流线圈同理；
当 $\phi =\frac{\pi }{2}$ 时, $W=0$ (零势能点)

$$W=-A=-{\int }_{\phi }^{\pi /2}Md\phi =-p_{m}B{\int }_{\phi }^{\pi /2}sin\phi d\phi =-p_{m}Bcos\phi$$

$$\begin{array}{}\text{(21)}& \Rightarrow W=-{\mathit{p}}_m\cdot \mathit{B}\end{array}$$

第六讲 带电粒子在电场和磁场中的运动

6.1 洛伦兹力

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \mathit{F}=q\mathit{v}\times \mathit{B}\end{array}$$

式中，$q$ 包含电荷正负特性符号；

6.2 霍尔效应

$$q\bar{v}B=qE\Rightarrow E=\bar{v}B\Rightarrow U=El=vBl$$

$$\begin{array}{}\text{(23)}& I=nqS\bar{v}\Rightarrow U=\frac{IB}{nqd}=K\frac{IB}{d}\end{array}$$

$$K=\frac{1}{nq}$$

式中，$d$ 和 $l$ 分别表示沿电流方向上导体截面的宽度和高度；$n$ 表示单位体积的载流子数；
【载流子种类】

• p(positive)型半导体 $\Rightarrow$ 空穴 $\Rightarrow$ 空穴导电
• n(negative)型半导体 $\Rightarrow$ 电子 $\Rightarrow$ 电子导电
• 金属导体(大多数) $\Rightarrow$ 电子 $\Rightarrow$ 电子导电

第七讲 磁介质

7.1 相对磁导率

$$\begin{array}{}\text{(24)}& {\mu }_r=\frac{B}{B_0}\end{array}$$

式中，$B_0$ 表示真空磁感应强度，${\mu }_r$ 表示磁介质的相对磁导率，$B$ 表示磁介质的磁感应强度；

• ${\mu }_r>1\Rightarrow$ 顺磁质(弱/非磁性物质)
• ${\mu }_r<1\Rightarrow$ 抗磁质(弱/非磁性物质)
• ${\mu }_r\gg 1\Rightarrow$ 铁磁质(强磁性物质)

7.2 $★$ 磁介质的安培环路定理

$${\oint }_L\mathit{B}\cdot d\mathit{l}={\mu }_0{\mu }_r\sum _{(\mathrm{内})}I$$

令 $\mu ={\mu }_0{\mu }_r$ 得:

$${\oint }_L\frac{\mathit{B}}{\mu }\cdot d\mathit{l}=\sum _{(\mathrm{内})}I$$

令 $\mathit{H}=\frac{\mathit{B}}{\mu }$ 得:

$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\oint }_L\mathit{H}\cdot d\mathit{l}=\sum _{(\mathrm{内})}I\end{array}$$

式中，$\mu$ 表示磁介质的磁导率，$\mathit{H}$ 表示磁场强度，对有介质存在的环路定理的处理可以参考电位移矢量 $\mathit{D}$；

第八讲 经典习题

第三章 电磁感应与电磁场

第一讲 电磁感应的基本规律

1.1 电动势

闭合回路上：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \xi =\oint {\mathit{E}}_k\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

对于一段电路$ab$：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \xi ={\int }_a^b{\mathit{E}}_k\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

其中，${\mathit{E}}_k$表示非静电性电场强度；

1.2 法拉第电磁感应定律

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\xi }_i=-\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}\end{array}$$

由楞次定律确定方向$\Rightarrow$方向相反；

1.3 多匝串联线圈

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\xi }_i=-\frac{d}{dt}(\sum _{k=1}^N{\mathrm{\Phi }}_k)=-\frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\xi }_i=-\frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}=-N\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}({\mathrm{\Phi }}_i={\mathrm{\Phi }}_j,1\le i,j\le N)\end{array}$$

其中，$\mathrm{\Psi }=\sum _{k=1}^N{\mathrm{\Phi }}_k$表示穿过各线圈的总磁通量，称为磁通链数；

1.4 长直螺线管

在长直螺线管外套一 $N$ 匝，总内阻为 $R$ 的圆线圈，$S$ 表示螺线管截面积：

$$B={\mu }_{0}nI\Rightarrow \mathrm{\Phi }=\mathit{B}\cdot \mathit{S}={\mu }_{0}nIS$$

当通电电流均匀变化时，螺线管内的感应电动势:

$${\xi }_i=-\frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}=-N\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-{\mu }_{0}nNS\frac{dI}{dt}$$

【螺线管内磁感应强度】
感应电流 $I_i=\frac{{\xi }_i}{R}=-\frac{N}{R}\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$

$${\mathrm{\Delta }}_{q_i}={\int }_{t_1}^{t_2}{I}_{i}dt=-\frac{N}{R}{\int }_{{\mathrm{\Phi }}_1}^{{\mathrm{\Phi }}_2}d\mathrm{\Phi }=-\frac{N}{R}({\mathrm{\Phi }}_2-{\mathrm{\Phi }}_1)$$

$$⟹{\mathrm{\Phi }}_1-{\mathrm{\Phi }}_2=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{q_i}R}{N}$$

当 ${\mathrm{\Phi }}_1=0{|}_{t=t_1},{\mathrm{\Phi }}_2=BS{|}_{t=t_2\to +\mathrm{\infty }}$ 时，推出 $B=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{q_i}R}{NS}$

第二讲 动生电动势 感生电动势

2.1 动生电动势

导体棒 $ab$ 产生的动生电动势：

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\xi }_i={\int }_a^b{\mathit{E}}_k\cdot d\mathit{l}={\int }_a^b(\mathit{v}\times \mathit{B})\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

闭合回路产生的动生电动势：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\xi }_i={\oint }_{L}d{\xi }_i={\oint }_L(\mathit{v}\times \mathit{B})\cdot d\mathit{l}\end{array}$$

动生电动势方向由 $\mathit{v}\times \mathit{B}\cdot d\mathit{l}$ 判定：

${\xi }_i>0\Rightarrow u_a\le u_b$ ${\xi }_i<0\Rightarrow u_a>u_b$

注：积分路径：$a\to b$，在电源内部非静电性电场强度从负极指向正极， ${\mathit{E}}_k$ 与积分方向一致时积分值为正，否则为负；

2.2 感生电动势

感生电场假说$⟹$ 有旋电场

【回路固定不动】

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\xi }_i={\oint }_L{\mathit{E}}_V\cdot d\mathit{l}=-{\iint }_S\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}\cdot d\mathit{S}\end{array}$$

感生电动势方向由楞次定律判定；有旋电场度 $E_V$ 的方向判定：闭合回路由右螺旋法则指向磁场方向选定回路绕行正方向，由式 $(9)$ 代入符号计算，$E_V$ 正负与回路绕行方向保持一致；
当 $E_V$ 相等，磁场均匀变化时，

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\xi }_i=E_V{\oint }_{L}dl=-\frac{\partial B}{\partial t}{\iint }_{S}dS=-\frac{\partial B}{\partial t}S\end{array}$$

$⟹$ 计算某一闭合回路上的有旋电场强度($S$ 表示磁场面积)

第三讲 自感与互感

3.1 自感电动势

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathrm{\Psi }=LI\Rightarrow {\xi }_L=-\frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}=-L\frac{dI}{dt}\end{array}$$

式中 $L$ 表示自感系数为常量，与 $I$ 无关(存在铁磁质时与 $I$ 有关)，仅有回路的匝数、几何形状、大小以及周围介质磁导率决定；

3.2 长直螺线管自感系数

【空心自感线圈】

$$B={\mu }_{0}nI={\mu }_0\frac{N}{l}I\Rightarrow \mathrm{\Psi }=NBS={\mu }_0\frac{N^2}{l}\pi R^{2}I$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& ⟹L=\frac{\mathrm{\Psi }}{I}=\frac{{\mu }_0{N}^2\pi R^2}{l}={\mu }_0{n}^{2}V(V=\pi R^{2}l)\end{array}$$

3.3 传输线的分布电感

两长直平行导线电流 $I$，半径 $r_0$，轴线间距 $d$，且 $r_0\le d$；
导线微元: $d{\mathrm{\Phi }}_1=BdS=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}ldr$

$$\Rightarrow {\mathrm{\Phi }}_1={\int }_{r_0}^{d-r_0}\frac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\frac{dr}{r}=\frac{{\mu }_{0}Il}{2\pi }\ln (\frac{d-r_0}{r_0})$$

$\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}_1+{\mathrm{\Phi }}_2=2{\mathrm{\Phi }}_1$(电流反向) $\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}_1+{\mathrm{\Phi }}_2=0$(电流同向) $$\begin{array}{}\text{(13)}& L=\frac{\mathrm{\Phi }}{I}=\frac{{\mu }_0}{\pi }l\ln (\frac{d-r_0}{r_0})\approx \frac{{\mu }_0}{\pi }l\ln \frac{d}{r_0}\end{array}$$

3.4 互感电动势

• 回路 $1$ 对回路 $2$: ${\mathrm{\Psi }}_{21}=M_{21}{I}_1$
• 回路 $2$ 对回路 $1$: ${\mathrm{\Psi }}_{12}=M_{12}{I}_2$

$$\begin{array}{}\text{(14)}& M_{21}=M_{12}=M⟹{\xi }_M=-M\frac{dI}{dt}\end{array}$$

式中 $M_{21}$ 表示回路 $1$ 对回路 $2$ 的互感系数，$M_{12}$ 表示回路 $2$ 对回路 $1$ 的互感系数；$M$ 表示两个回路间的互感系数，与 $I$ 无关(存在铁磁质时与 $I$ 有关)，由回路的匝数、几何形状、尺寸、周围介质磁导率以及回路的相对位置决定；

$M_{12}=M_{21}=M\Rightarrow$ 转换研究对象简化计算互感系数$\Rightarrow$ 互感电动势

第四讲 磁能

4.1 自感磁能

$$dA=-{\xi }_{L}idt,{\xi }_L=-L\frac{di}{dt}$$

$$⟹dA=Lidi$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& ⟹A={\int }_0^{I}Lidi=\frac{1}{2}L{I}^2\end{array}$$

即$W_m=\frac{1}{2}L{I}^2$ (自感磁能)

当有磁场能量时可以利用$L=\frac{2W_m}{I^2}$ 计算自感系数

式中，$L$ 表示线圈自感，$I$ 表示线圈所通电流；

4.2 长直螺线管磁能

$$\mathrm{由}\mathrm{式}(12)\Rightarrow L=\mu n^{2}V\Rightarrow W_m=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\mu n^2{I}^{2}V$$

$$\begin{array}{}\text{(16)}& B=\mu nI⟹H=\frac{B}{\mu }=nI\end{array}$$

$W_m=\frac{1}{2}BHV$

磁能密度${\omega }_m=\frac{W_m}{V}=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}\frac{B^2}{{\mu }_0{\mu }_r}$

4.3 有限体积内的磁能

$$\begin{array}{}\text{(17)}& W_m={\int }_{V}d{W}_m=\frac{1}{2}{\int }_{V}BHdV\end{array}$$

第五讲 麦克斯韦电磁场理论

5.1 位移电流

• 传导电流 $\Leftarrow$ 电荷定向移动形成的电流
• 位移电流 $\Leftarrow$ 电位移通量的变化率(变化的电场)

$${\mathrm{\Phi }}_D=DS=\epsilon ES=\epsilon \cdot \frac{\sigma }{\epsilon }S=\sigma S$$

• 传导电流

$$\begin{array}{}\text{(18)}& ⟹\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=\frac{d}{dt}(\sigma S)=\frac{dq}{dt}=I\end{array}$$

• 位移电流

$$⟹I_D=\frac{d{\mathrm{\Phi }}_D}{dt}=\frac{dD}{dt}S=\epsilon \frac{dE}{dt}S$$

• 全电流

$⟹$ 全电流 = $I+I_D$

非恒定电路中传导电流不连续但全电流保持连续

5.2 全电流安培环路定理

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\oint }_L\mathit{H}\cdot d\mathit{l}=I+I_D,I_D=\frac{d{\mathrm{\Phi }}_D}{dt}={\int }_S\frac{d\mathit{D}}{dt}\cdot \mathit{S}\end{array}$$

5.3 麦克斯韦方程组

• 电场 $\mathit{E},\mathit{D}$

  • 自由电荷产生的静电场 ${\mathit{E}}_{\mathbf{1}}$、${\mathit{D}}_{\mathbf{1}}$
  • $\Rightarrow \mathit{E}={\mathit{E}}_{\mathbf{1}}+{\mathit{E}}_{\mathbf{2}}$
  • 变化磁场产生的有旋电场 ${\mathit{E}}_{\mathbf{2}}$、${\mathit{D}}_{\mathbf{2}}$
  • $\Rightarrow \mathit{D}={\mathit{D}}_{\mathbf{1}}+{\mathit{D}}_{\mathbf{2}}$

• 磁场 $\mathit{B},\mathit{H}$

  • 传导电流产生的磁场 ${\mathit{B}}_{\mathbf{1}}$、${\mathit{H}}_{\mathbf{1}}$
  • $\Rightarrow \mathit{B}={\mathit{B}}_{\mathbf{1}}+{\mathit{B}}_{\mathbf{2}}$
  • 位移电流产生的磁场 ${\mathit{B}}_{\mathbf{2}}$、${\mathit{H}}_{\mathbf{2}}$
  • $\Rightarrow \mathit{H}={\mathit{H}}_{\mathbf{1}}+{\mathit{H}}_{\mathbf{2}}$

电场的高斯定理	${\oint }_S\mathit{D}\cdot d\mathit{S}=\sum _i{q}_i$	电场是有源场
法拉第电磁感应定律	${\oint }_L\mathit{E}\cdot d\mathit{l}=-{\iint }_S\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}\cdot d\mathit{S}$	静电场是保守(无旋、有势)场
磁场的高斯定理	${\oint }_S\mathit{B}\cdot d\mathit{S}=0$	磁场是无源场
全电流安培环路定理	${\oint }_L\mathit{H}\cdot d\mathit{l}=\sum (I_D+I)$	磁场是有旋(非保守)场

• 位移电流 $I_d$

$$\begin{gathered} {\mathrm{\Phi }}_D=\iint \mathit{D}\cdot d\mathit{S} \\ {I}_d=\frac{d{\mathrm{\Phi }}_D}{dt} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ 位移电流密度 $j_d=\frac{I_d}{S}$ + 位移电流激发的磁场 $B$ $${\oint }_L\mathit{H}\cdot d\mathit{l}=j_{d}S$$

第四章 狭义相对论力学基础

第一讲 力学相对性原理

1.1 经典力学相对性原理

力学相对性原理

对于描述力学现象的规律而言，所有惯性系都是等价的

力学规律的数学表达式应具有伽利略坐标变换的不变性(协变性)

1.2 伽利略坐标变化式

根据 ${\lambda }_{P{S}^{\prime }}+{\lambda }_{S^{\prime }S}={\lambda }_{PS}$ 推出:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\lambda }^{\prime }=\lambda -\mu t(\lambda =x,y,z,\mathit{v},\mathit{a},\mu =u),t^{\prime }=t\end{array}$$

第二讲 狭义相对论基本假设

狭义相对论的相对性原理

在所有惯性系中，一切物理学定理都相同，即具有相同的数学表达式

对于描述一切物理现象的规律而言，所有惯性系都是等价的

• 光速不变原理

在所有惯性系中，真空中光沿各个方向传播的速率都等于同一个恒量 $c$，与光源和观察者的运动状态无关

第三讲 狭义相对论的时空观

3.1 同时性的相对性

• 异地发生的两个同时事件，同时性具有相对性(对任意参考系)
• 同地发生的两个同时事件，同时性具有绝对性(对任意参考系)

3.2 时间延缓

• 时间间隔具有相对性

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \tau =\frac{{\tau }_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}=\gamma {\tau }_0\end{array}$$

式中，$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$，${\tau }_0$ 表示同地不同时的两事件的时间间隔称为原时，且在不同参考系中测得的时间间隔以原时最短；

3.3 长度收缩

长度测量具有相对性

$$\begin{array}{}\text{(3)}& L^{\prime }=L\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}\end{array}$$

式中，$L$ 表示观测者静止时测得的长度(原长)，$L^{\prime }$ 表示在沿尺长度方向运动速度为 $u$ 时测得的长度，且在不同参考系中测得的长度以原长最长；

第四讲 洛伦兹变换

4.1 时空坐标变换

$P$ 在 $S$ 中的时空坐标 $(x,y,z,t)$,在 $S^{\prime }$ 中的时空坐标 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$ $S$ 系中测得 $S^{\prime }$ 中坐标 $x^{″}=x^{\prime }\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}$ (长度收缩) $⟹$ 在 $S$ 系中 $P$ 坐标 $x=ut+x^{″}=ut+x^{\prime }\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}$ $S^{\prime }$ 系中测得 $S$ 中坐标 $x_1=x\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}$ (长度收缩) $⟹$ 在 $S^{\prime }$ 系中 $P$ 坐标 $x^{\prime }=x_1-u{t}^{\prime }=x\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}-u{t}^{\prime }$ $$\begin{array}{}\text{(4)}& ⟹x^{\prime }=\frac{x-ut}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}},t^{\prime }=\frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}\end{array}$$

式中，$u$ 表示 $S^{\prime }$ 相对于 $S$ 的速度(相对速度)，$x^{\prime }$ 表示待求坐标系中参量；

推导时间变换式: 由 $x^{\prime }=\frac{x-ut}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$ 及逆变换 $x=\frac{x^{\prime }+u{t}^{\prime }}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$ 联立消去 $x^{\prime }$ 解 $t^{\prime }$

4.2 时空间隔变换

$P_1,P_2$ 在 $S$ 中的时空坐标 $(x_1,y_1,z_1,t_1),(x_2,y_2,z_2,t_2)$,在 $S^{\prime }$ 中的时空坐标 $(x_1^{\prime },y_1^{\prime },z_1^{\prime },t_1^{\prime }),(x_2^{\prime },y_2^{\prime },z_2^{\prime },t_2^{\prime })$ 由 $S\to S^{\prime }$ 得: $$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }t-\frac{u}{c^2}\mathrm{\Delta }x}{\sqrt{1-{\beta }^2}},\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }x-u\mathrm{\Delta }t}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(\beta =\frac{u}{c})$$ 由 $S^{\prime }\to S$ 得: $$\begin{array}{}\text{(5)}& \mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{u}{c^2}\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{\sqrt{1-{\beta }^2}},\mathrm{\Delta }x=\frac{\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+u\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(\beta =\frac{u}{c})\end{array}$$ 式中，$u$ 关联于坐标轴选取的正方向，一般选定 $S$ 系运动方向为坐标轴正方向；

4.3 爱因斯坦速度相加定律

由式 $(4)$ 求微分得:

$$d{x}^{\prime }=\frac{(v_x-u)}{\sqrt{1-{\beta }^2}}dt,d{y}^{\prime }=dy,d{z}^{\prime }=dz,d{t}^{\prime }=\frac{(1-\frac{u}{c^2}{v}_x)}{\sqrt{1-{\beta }^2}}dt$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \Rightarrow v_x^{\prime }=\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=\frac{v_x-u}{1-\frac{u}{c^2}{v}_x},v_y^{\prime }=\frac{d{y}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=\frac{v_y\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-\frac{u}{c^2}{v}_x},v_z^{\prime }=\frac{d{z}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=\frac{v_z\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-\frac{u}{c^2}{v}_x}\end{array}$$

第五讲 狭义相对论质点动力学

5.1 相对论动量和质量

质速关系式

$$m(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& ⟹\mathit{p}=m\mathit{v}=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}\mathit{v},\mathit{F}=\frac{d\mathit{p}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}\mathit{v})\end{array}$$

式中，$m_0$ 表示物体静止质量；

5.2 相对论动能

$$E_k=\int \mathit{F}\cdot d\mathit{r}=\int \frac{d(m\mathit{v})}{dt}\cdot d\mathit{r}=\int d(m\mathit{v})\cdot \frac{d\mathit{r}}{dt}=\int d(m\mathit{v})\cdot \mathit{v}$$

$m\propto \mathit{v}⟹d(m\mathit{v})\cdot \mathit{v}=(\mathit{v}dm+md\mathit{v})\cdot \mathit{v}=v^{2}dm+mvdv$ 由式 $(7)$ 得: $m^2{v}^2=m^2{c}^2-m_0^2{c}^2\Rightarrow v^{2}dm+mvdv=c^{2}dm$ $$\begin{array}{}\text{(8)}& E_k={\int }_{m_0}^m{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2\end{array}$$

5.3 质能方程

运动能量: $E=m{c}^2$
静止能量: $E_0=m_0{c}^2$

5.4 光子质量

• 爱因斯坦光子假说
  光子能量: $E=h\nu$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& ⟹m_{\phi }=\frac{E}{c^2}=\frac{h\nu }{c^2}=\frac{h}{c\lambda }\end{array}$$

光子、中微子在真空中速率为$c$，不可能静止因此静止能量等于零

5.5 相对论能量与动量关系

由式 $(7)$ 得: $m^2(1-\frac{v^2}{c^2})=m_0^2$

$⟹m^2{c}^4=m^2{v}^2{c}^2+m_0^2{c}^4$ $p=mv\Rightarrow E^2=p^2{c}^2+E_0^2$ 由于光子 $m_0=0$ 故得: $E_0=0\Rightarrow E^2=p^2{c}^2$ $$\begin{array}{}\text{(11)}& ⟹p=\frac{h\nu }{c}=\frac{h}{\lambda }\end{array}$$

第五章 量子物理基础

第一讲 普朗克量子假设

1.1 基本概念

热辐射	物体由其温度所决定的电磁辐射(温度越高，单位时间内辐射的能量越高)
平衡热辐射	当辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再发生变化而处于热平衡状态时的热辐射
单色辐射出射度(单色辐出度)	物体单位表面积在单位时间内发射的，波长在$\lambda \to \lambda +d\lambda$ 范围内的辐射能 $d{M}_{\lambda }$与波长间隔 $d\lambda$ 的比值
绝对黑体(黑体)	能够全部吸收各种波长的辐射能而不发生发射和透射的物体

1.2 单色辐出度

$$\begin{array}{}\text{(1)}& M_{\lambda }(T)=\frac{d{M}_{\lambda }}{d\lambda }\end{array}$$

【单色辐出度图】

温度越高	单色辐出度越大，峰值波长越短

1.3 普朗克量子假设

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \epsilon =nh\nu \end{array}$$

式中，$\epsilon$ 表示腔壁中带电谐振子离散变化的能量，振子的频率为 $\nu$，$n$ 表示量子数，$h\nu$ 表示能量子——谐振子能量的最小单位(不是物质而是能量单位)；

第二讲 爱因斯坦光子理论

2.1 光电效应

金属及其化合物在光的照射下发射电子的现象

【光电效应伏安特性曲线】

照射光光强越大，饱和光电流越大

光电子最大初动能与照射光强度无关，而与频率成线性关系

2.2 光电效应方程

遏止电压: $\frac{1}{2}m{v}_m^2=e{U}_a$
光电效应方程: $h\nu =A+\frac{1}{2}m{v}_m^2$
截止频率: ${\nu }_0=\frac{A}{h}$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& ⟹U_a=\frac{h}{e}\nu -\frac{A}{e}\end{array}$$

第三讲 康普顿效应及光子理论解释

3.1 康普顿效应

单色$X$ 射线被物质散射时，散射光两种波长中有一种波长比入射线长的散射现象

3.2 光子理论解释

【微观机制】——等价于微观粒子的弹性碰撞
入射光子频率 ${\nu }_0$,散射角为 $\theta$ 的光子频率为 $\nu$,电子沿着与入射线成 $\phi$ 角的方向运动,静质量 $m_0$,动质量 $m$
由动量守恒定律得到:

$\frac{h{\nu }_0}{c}=\frac{h\nu }{c}\cos \theta +mv\cos \phi$ $\frac{h\nu }{c}\sin \theta =mv\sin \phi$ $⟹m^2{v}^2{c}^2=h^2({\nu }_0^2-{\nu }^2-2{\nu }_0\nu \cos \theta )$

由能量守恒定律得到:

$h{v}_0+m_0{c}^2=hv+m{c}^2$ 进一步式 $(5)$ 平方 $-$ 式 $(4)$ 且 $m^2(1-\frac{v^2}{c^2})=m_0^2$ 得到: $$m_0{c}^2({\nu }_0-\nu )=h{\nu }_0\nu (1-\cos \theta )$$ $$\begin{array}{}\text{(6)}& ⟹\mathrm{\Delta }\lambda =\lambda -{\lambda }_0=\frac{c}{\nu }-\frac{c}{{\nu }_0}=\frac{h}{m_{0}c}(1-\cos \theta )=\frac{2h}{m_{0}c}{\sin }^2\frac{\theta }{2}=2{\lambda }_C{\sin }^2\frac{\theta }{2}>0\end{array}$$ 式中，${\lambda }_C=\frac{h}{m_{0}c}$ 称为电子的康普顿波长；

第四讲 氢原子光谱 玻尔氢原子理论

4.1 氢原子光谱实验规律

氢原子光谱——线状光谱
【里德伯-里兹合并原则】

• 光谱线波数 $\tilde{\nu }=\frac{1}{\lambda }=T(k)-T(n)=R_H(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2})$ ($k、n\in Z$ 且 $n>k$)
• $k=1(n=2,3,4,\cdots )$ ——赖曼系 $k=2(n=3,4,5,\cdots )$——巴耳末系

4.2 玻尔氢原子理论——氢原子或类氢原子

【辐射频率公式】——辐射或吸收一个频率为 ${\nu }_{kn}$ 的光子

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\nu }_{kn}=\frac{|E_k-E_n|}{h}\end{array}$$

【角动量量子化条件】——轨道角动量不能连续变化

$$\begin{array}{}\text{(8)}& L=mvr=n\frac{h}{2\pi }=n\bar{h},n=1,2,3,\cdots \end{array}$$

式中，$\bar{h}=\frac{h}{2\pi }$ 表示约化普朗克常数；
【电子轨道半径】——电子轨道半径不能连续变化

$$m\frac{v^2}{r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r^2}$$

又由式 $(8)$ 得:

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \Rightarrow r_n=n^2(\frac{{\epsilon }_0{h}^2}{\pi m{e}^2})=n^2{r}_1(n=1,2,3,\cdots )\end{array}$$

式中 $r_1$ 表示氢原子中电子的最小轨道半径，称为玻尔半径；

$n=1$ 的定态——基态
$n=2,3,4,\cdots$ 各态——受激态

氢原子能量=电子动能+电子电势能

量子数为 $n$ 的定态时氢原子能量：

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r}=-\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& ⟹E_n=-\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_n}=-\frac{1}{n^2}(\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^2})(n=1,2,3,\cdots )\end{array}$$

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时,$r_n\to \mathrm{\infty }$，$E_n\to 0$，能级趋于连续，原子趋于电离；$E>0$ 时，原子处于电离状态，能量可连续变化。

电离能: 使原子或分子电离所需要的能量
原子电离电势:电子使原子刚好电离所需的加速电势差

【氢原子跃迁】
高能态跃迁到低能态发射一个光子其频率和波数：

$${\nu }_{nk}=\frac{E_n-E_k}{h}(n>k)$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \widetilde{{\nu }_{nk}}=\frac{1}{{\lambda }_{nk}}=\frac{{\nu }_{nk}}{c}=\frac{1}{hc}(E_n-E_k)\end{array}$$

常用物理常数

物理常数	物理符号	取值
普朗克常数	$h$	$6.62607015\times {10}^{-34}J\cdot s$
电子电量	$e$	$1.6\times {10}^{-19}C$
光速	$c$	$3\times {10}^{8}m/s$
真空电容率/真空介电常量	${\epsilon }_0$	$8.85\times {10}^{-12}{C}^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}$

Contributors

• Zhihao Li