UOJ Round #20 T1 A. 【UR #20】跳蚤电话（组合数+树形DP）

UOJ Round #20 T1 A. 【UR #20】跳蚤电话

题目大意

• 给出一棵树，求建出该树的不同操作方案数。建树方式如下：初始$S$集合只有$1$，操作$1$为取已连的边$x,y$和不在$S$的点$z$，删去边$(x,y)$，加入边$(x,z),(y,z)$，再把$z$放入$S$；操作$2$为取$S$内的点$x$和$S$外的点$y$，加入边$(x,y)$，再把$y$放入$S$。
• $2\le n\le 10^5$

题解

• 可以先分析操作，得出一些结论：
• 1、$x\in S$当且仅当$x$与$1$连通；
• 2、$S$能在操作中出现（即合法）当且仅当$S$中任意两点的$lca$也在$S$中；
• 3、任意一个合法的$S$，只对应唯一一种树的形态，因此操作实质是按一定顺序不断加点；
• 4、某个子树内的点的加入顺序与子树外无关。
• 于是可以考虑树形DP，设$f_i$表示$i$子树内的不同顺序方案数，有两种转移。
• 一、先加入子树根，再儿子内所有点保持各自相对顺序插入（用组合数）；
• 二、先加入某个儿子的部分点（枚举数量），再加入子树根，最后把该儿子剩下的点和其他儿子内所有点保持各自相对顺序插入。（当$i$为$1$时不能使用这种转移）
• 写出来后发现很多式子都是可以优化的。最后有一个部分式子形如$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+2}{2}\right)+...+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k}{k}\right)$，可以把$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{0}\right)$看做是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{0}\right)$，然后在杨辉三角上就能不断合并下来，最后结果是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k+1}{k}\right)$。
• 由于快速幂，最后复杂度是$O(n\log n)$。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100010
#define md 998244353
#define ll long long
int last[N], nxt[N * 2], to[N * 2], len = 0;
int si[N], f[N];
ll F[N], G[N];
int ans = 0;
ll ksm(ll x, ll y) {
	if(!y) return 1;
	ll l = ksm(x, y / 2);
	if(y % 2) return l * l % md * x % md;
	return l * l % md;
}
ll C(int x, int y) {
	return F[x] * G[y] % md * G[x - y] % md;
}
void add(int x, int y) {
	to[++len] = y;
	nxt[len] = last[x];
	last[x] = len;
}
void dfs(int k, int fa) {
	si[k] = 1;
	ll sum = 1;
	for(int i = last[k]; i; i = nxt[i]) if(to[i] != fa) {
		dfs(to[i], k);
		si[k] += si[to[i]];
		sum = sum * C(si[k] - 1, si[to[i]]) % md * f[to[i]] % md;
	}
	f[k] = sum;
	if(k == 1) return;
	for(int i = last[k]; i; i = nxt[i]) if(to[i] != fa) {
		int x = to[i];
		ll s = C(si[k] - 1, si[x] - 1);
		ll t = f[x] * sum % md * ksm(f[x] * C(si[k] - 1, si[x]) % md, md - 2) % md;
		f[k] = (f[k] + s * t % md) % md;
	}
}
int main() {
	int n, i, x, y;
	scanf("%d", &n);
	F[0] = G[0] = 1;
	for(i = 1; i <= n; i++) F[i] = F[i - 1] * i % md;
	G[n] = ksm(F[n], md - 2);
	for(i = n - 1; i; i--) G[i] = G[i + 1] * (i + 1) % md;
	for(i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		add(x, y), add(y, x);
	}
	dfs(1, 0);
	printf("%lld\n", f[1]);
	return 0;
}

自我小结

• 从头到尾想法都比较自然，思路还是很清晰的，但是式子在实现上容易出现细节问题。