2020 CSP-J T3 表达式（栈+二叉树）

2020 CSP-J T3 表达式

题解

如何把后缀表达式转回普通表达式？

• 观察样例，不难发现，$and$和$or$运算符一定是插入在前面最近的两对括号之间，$not$则是在前面最近的一对括号前。括号是什么？每个变量两边可以看做有一对括号，每次运算结束后可以在两边加上一对括号。即“$(xxx)$ $(yyy)$ $and$”可变为“$((xxx)$ $and$ $(yyy))$”，其余同理。

• 那么直接把整个字符串从左往右扫一遍，遇到变量则压入栈中，$and$和$or$则弹出栈顶两个元素，$not$则弹出栈顶一个元素，再把运算符连同刚刚弹栈的部分看做是一个整体，一起压入栈中。

怎么维护询问？

• 在弹栈过程中，把整个表达式建成一棵二叉树，所有叶子结点记录变量的编号，非叶子结点记录运算符和左右儿子编号（$not$没有左儿子）。先遍历整棵树，求出每个子树的最初的值，记录在子树的根上。

• 单独维护每个变量修改复杂度过高，可以考虑整棵树一起做。把整棵树遍历一遍，求出使整个表达式的值为真时，每个子树需要满足什么条件，有四种情况，分别为：取$0$，取$1$，取$0/1$均可（记为$-1$），取$0/1$均不可（记为$-2$）。

• 具体操作可以在遍历过程中，记录该子树内需满足值为$x$才能为使整个表达式值为真，按照运算规则继续递归下去，对不同的运算，需根据另一儿子原表达式的值的情况得出该儿子需满足怎样的条件，易得下表。

运算符	整个子树需满足的条件(递归到当前的x)	左/右儿子的最初的值（已知）	右/左儿子的条件（递归下去）
$and$	1	1	1
		0	-2
	0	1	0
		0	-1
	-1	任意	-1
	-2	任意	-2
$or$	1	1	-1
		0	1
	0	1	-2
		0	1
	-1	任意	-1
		任意	-2
$not$	1	/	0
	0	/	1
	-1	/	-1
	-2	/	-2

• 最后询问时直接比较每个变量取反后和需满足的条件是否符合即可。

代码

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1000010
char st[N];
int tot = 0, a[N], ans[N], q[N];
struct {
	int x, l = 0, r = 0, s;
}f[N];
// -1 not
// -2 and 
// -3 or
void dfs(int v) {
	if(f[v].x > 0) {
		f[v].s = a[f[v].x];
		return;
	}
	int l, r;
	if(f[v].l) dfs(f[v].l), l = f[f[v].l].s;
	if(f[v].r) dfs(f[v].r), r = f[f[v].r].s;
	if(f[v].x == -1) f[v].s = 1 - r;
	else if(f[v].x == -2) f[v].s = l & r;
	else f[v].s = l | r;
}
void solve(int v, int x) {
	if(f[v].x > 0) {
		ans[f[v].x] = x;
		return;
	}
	if(f[v].x == -1) {
		x < 0 ? solve(f[v].r, x) : solve(f[v].r, 1 - x);
	}
	else if(f[v].x == -2) {
		x < 0 ? solve(f[v].l, x) : (x == 1 ? solve(f[v].l, f[f[v].r].s == 0 ? -2 : 1) : solve(f[v].l, f[f[v].r].s == 0 ? -1 : 0));
		x < 0 ? solve(f[v].r, x) : (x == 1 ? solve(f[v].r, f[f[v].l].s == 0 ? -2 : 1) : solve(f[v].r, f[f[v].l].s == 0 ? -1 : 0));
	}
	else if(f[v].x == -3) {
		x < 0 ? solve(f[v].l, x) : (x == 1 ? solve(f[v].l, f[f[v].r].s == 1 ? -1 : 1) : solve(f[v].l, f[f[v].r].s == 1 ? -2 : 0));
		x < 0 ? solve(f[v].r, x) : (x == 1 ? solve(f[v].r, f[f[v].l].s == 1 ? -1 : 1) : solve(f[v].r, f[f[v].l].s == 1 ? -2 : 0));
	}
}
int main() {
	int n, Q, i, j, x, ls = 0;
	char c = getchar();
	while(c != '\n') st[++ls] = c, c = getchar();
	for(i = 1; i <= ls; i++) {
		if(st[i] == 'x') {
			j = i + 1, x = 0;
			while(st[j] >= '0' && st[j] <= '9') x = x * 10 + st[j] - 48, j++;
			i = j - 1;
			f[++tot].x = x;
			q[++q[0]] = tot;
		}
		else if(st[i] == '!') {
			f[++tot].x = -1;
			f[tot].r = q[q[0]], q[q[0]] = tot;
		}
		else if(st[i] == '&') {
			f[++tot].x = -2;
			f[tot].r = q[q[0]], f[tot].l = q[q[0] - 1];
			q[0]--;
			q[q[0]] = tot;
		}
		else if(st[i] == '|') {
			f[++tot].x = -3;
			f[tot].r = q[q[0]], f[tot].l = q[q[0] - 1];
			q[0]--;
			q[q[0]] = tot;
		}
	}
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	dfs(q[1]);
	solve(q[1], 1);
	scanf("%d", &Q);
	while(Q--) {
		scanf("%d", &x);
		printf("%d\n", (a[x] != ans[x] && ans[x] != -2));
	}
	return 0;
}