JZOJ 6873. 【2020.11.19提高组模拟】飞翔的鸟（矩阵乘法）

JZOJ 6873. 【2020.11.19提高组模拟】飞翔的鸟

题解

• $n,k$的数据范围看起来就知道要用矩乘，但障碍的位置是不确定的。
• 如果暴力枚举$n-2$次障碍的位置，分别计算每种情况障碍左右两边的方案数，再左右相乘起来，每种情况相加求平均数，可以通过部分的数据。
• 这样显然过不了，考虑能否一次做完？
• 其实可以每个位置设两个状态$0/1$分别表示是否经过障碍，然后分三种情况，$0$转移到$0$，$1$转移到$1$，$0$转移到$1$，
• 其中前两种可以直接按题意从$x$转移到$x-1,x,x+1$，而第三种要从障碍左边那列转移到障碍右边，枚举左边$x-1,x,x+1$，右边$x-1,x,x+1$，$3\ast 3=9$种转移，而障碍那列直接跳过，
• 于是这样最后矩乘做$n-2$次。
• 但常数比较大，可能需要优化，矩乘中省去一些没有用的转移即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 265
#define ll unsigned long long
#define md 1000000007
int n, m, A, B;
ll c[N][N], f[N][N], g[N][N];
ll qpw(ll x, ll y) {
	if(!y) return 1;
	ll l = qpw(x, y / 2);
	if(y % 2) return l * l % md * x % md;
	return l * l % md;
}
void ksm(int n) {
	if(n == 0) {
		for(int i = 1; i <= m * 2; i++) f[i][i] = 1;
	}
	else {
		ksm(n / 2);
		memset(g, 0, sizeof(g));
		for(int i = 1; i <= m * 2; i++) 
			for(int j = (i > m) ? (m + 1) : 1; j <= m * 2; j++) 
				for(int k = (i > m) ? (m + 1) : 1; k <= ((j > m) ? m * 2 : m); k++) {
					if(k % 18 == 0) g[i][j] %= md;
					g[i][j] += f[i][k] * f[k][j];
				}
		for(int i = 1; i <= m * 2; i++)
			for(int j = 1; j <= m * 2; j++) f[i][j] = g[i][j] % md;
		if(n % 2) {
			memset(g, 0, sizeof(g));
			for(int i = 1; i <= m * 2; i++) 
				for(int j = (i > m) ? (m + 1) : 1; j <= m * 2; j++) {
					int x = j;
					if(x > m) x -= m;
					for(int k = max(x - 2, 0); k <= min(x + 2, m * 2); k++) g[i][j] += f[i][k] * c[k][j];
					x += m;
					for(int k = max(x - 2, 0); k <= min(x + 2, m * 2); k++) g[i][j] += f[i][k] * c[k][j];
				}
			for(int i = 1; i <= m * 2; i++)
				for(int j = 1; j <= m * 2; j++) f[i][j] = g[i][j] % md;	
		}
	}
}
int main() {
	int i, j, k;
	scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &A, &B);
	for(i = 1; i <= m + m; i++) {
		if(i == m) c[i][i] = c[i][i - 1] = 1;
		else if(i == m + 1) c[i][i] = c[i][i + 1] = 1;
		else c[i][i] = c[i][i + 1] = c[i][i - 1] = 1;
	}
	for(i = A + 1; i < B; i++) 
		for(j = -1; j < 2; j++) if(i + j <= m)
			for(k = -1; k < 2; k++) if(i + k) c[i + j][i + m + k]++;
	ksm(n - 2);
	printf("%lld\n", f[m / 2][m / 2 * 3] * qpw(n - 2, md - 2) % md);
	return 0;
}