JZOJ 100027. 【NOIP2017提高A组模拟7.7】表达式（推式子/找规律）

JZOJ 100027. 【NOIP2017提高A组模拟7.7】表达式

题目

Description

Input

一行两个整数k，p。

Output

一行一个整数表示答案。

Sample Input

1 3

Sample Output

6

Data Constraint

对于20%的数：$k\ast p<=10^5$。
对于另外20%的数据k=1。
对于70%的数据：$k\ast p<=10^9$。
对于100%的数据：k，p<=$10^9$。

题解

方法一

（内容来源：https://jzoj.net）

方法二

当$p=2$，答案为$1,0,1,0,1,0,1,0,1,0\dots \dots$。
当$p=3$，答案为$6,6,0,6,6,0,6,6,0\dots \dots$。
当$p=5$，答案为$15,10,10,15,0,15,10,10,15,0\dots \dots$。
当$p=7$，答案为$28,14,7,7,14,28,0,28,14,7,7,14,28,0\dots \dots$。
当$p=11$，答案为$66,22,110,88,77,77,88,110,22,66,0\dots \dots$。
$\dots \dots$
这样好像看不出什么，但可以发现两点：
1、答案有循环，且每个循环节是回文的，$k|p$时答案为0.
2、$p>2$时非$0$的答案为$p$的倍数。
那么我们把每个循环节前一半的答案除以$p$找出来。
当$p=3$：$2$。
当$p=5$：$3,2$。
当$p=7$：$4,2,1$。
当$p=11$：$6,2,10,8,7$。
当$p=13$：$7,2,11,8,6,5$。
当$p=17$：$9,2,13,8,4,1,16,15$。
当$p=23$：$12,2,16,8,1,18,13,9,6,4,3$。
$\dots \dots$
通过观察发现，每一行的第一项为$\frac{p+1}{2}$。
后面的呢？
不难发现（其实很难），每一项为一个公差为$1$的等差数列的前缀和，再对$p$取模。
举例：
当$p=23$，等差数列$12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22$。
当$p=23$，前缀和$12,25,39,54,70,87,105,124,144,165,187$。
当$p=23$，对$p$取模后$12,2,16,8,1,18,13,9,6,4,3$。
这样就可以快速实现了，注意$p=2$要特判。

代码

方法二的代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
	int k,p;
	scanf("%d%d",&k,&p);
	if(p==2)
	{
		printf("%d",k%2);
		return 0;
	}
	k%=p;
	if(k==0)
	{
		printf("0");
		return 0;
	}
	if(k>p/2) k=p-k;
	long long s=(p+1)/2;
	long long t=s+k-1;
	printf("%lld",(s+t)*k/2%p*p);
	return 0;
}