JZOJ 4225. 【五校联考3day1】宝藏（树上随机游走）

JZOJ 4225. 【五校联考3day1】宝藏

题目

Description

Input

Output

Sample Input

2
3
1 0
1 2
2
1 0 1
2 0 2 1
4
0 1
2 0
3 0
1
3 0 1 0 1

Sample Output

1.0000
5.0000
<空行>
11.0000

Data Constraint

题解

• 这是一个树上随机游走的问题。

• 题目可以简化为：从一个节点出发，等概率地向它所连的点走去，每条边权均为$1$。求从起点按顺序经过的一系列节点后到达终点的期望路径长度。

• 首先我们把问题中的路线拆分为以下两种：

• 1、$F(x)$表示从$x$走向$father[x]$，记录$f[x]$表示其期望路径长度；

• 2、$G(x)$表示从$father[x]$走向$x$，记录$g[x]$表示其期望路径长度。

• 问题中的路径就是若干条上面两种的路径总和，总的期望值也就是每一段的期望值总和。

• 现在考虑怎么计算$f[x]$和$g[x]$？

• 先令$deg[x]$表示$x$的度数，$son[x]$表示$x$的子节点集合。

• 计算$f[x]$的方程如下：

• 可以直接走到$father[x]$，也可以经过它的儿子再走到$father[x]$。
  $$f[x]=\frac{1+\sum _{v\in son[x]}f[v]+f[x]+1}{deg[x]}$$
  $$<=>f[x]\ast deg[x]=1+\sum _{v\in son[x]}f[v]+f[x]+1$$
  $$<=>f[x]\ast deg[x]=deg[x]+(deg[x]-1)\ast f[x]+\sum _{v\in son[x]}f[v]$$
  $$<=>f[x]=deg[x]+\sum _{v\in son[x]}f[v]$$

• 计算$g[x]$的方程如下：

• 可以直接走到$x$，也可以先走到$father[father[x]]$，也可能走到$x$的兄弟。
  $$g[x]=\frac{1+(1+g[x]+g[father[x]])+\sum _{v\in son[father[x]]\cap v\ne x}f[v]+g[x]+1}{deg[father[x]]}$$
  $$<=>g[x]\ast deg[father[x]]=2+g[x]+g[father[x]]+\sum _{v\in son[father[x]]\cap v\ne x}f[v]+g[x]+1$$
  $$<=>g[x]\ast deg[father[x]]=deg[father[x]]+g[x]\ast (deg[father[x]]-1)$$
  $$+g[father[x]]+\sum _{v\in son[father[x]]\cap v\ne x}f[v]$$
  $$<=>g[x]=deg[father[x]]+g[father[x]]+\sum _{v\in son[father[x]]\cap v\ne x}f[v]$$

• 于是这样就可以把所有的$f[x]$和$g[x]$计算出来了。

• 记得其中$f[x]=g[x]=0$.

• 如果一步一步地走，会时间超限，

• 自然想到用倍增$LCA$.

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int last[50010],next[100010],tov[100010],len=0;
int deep[50010],deg[50010];
int f[50010],g[50010],e[17],tn;
struct node
{
	int f,g,to;
}q[50010][17];
void add(int x,int y)
{
	tov[++len]=y;
	next[len]=last[x];
	last[x]=len;
}
void dfs(int x,int fa)
{
	f[x]=deg[x];
	for(int i=last[x];i;i=next[i]) if(tov[i]!=fa)
	{
		deep[tov[i]]=deep[x]+1;
		dfs(tov[i],x);
		f[x]+=f[tov[i]];
	}
}
void dfs1(int x,int sum,int fa)
{
	if(x>1) g[x]=g[fa]+deg[fa]+sum-f[x];
	int ss=0;
	for(int i=last[x];i;i=next[i]) if(tov[i]!=fa) ss+=f[tov[i]];
	for(int i=last[x];i;i=next[i]) if(tov[i]!=fa) dfs1(tov[i],ss,x);
}
void dfs2(int x,int fa)
{
	q[x][0].to=fa,q[x][0].f=f[x],q[x][0].g=g[x];
	for(int i=1;i<=16;i++) 
	{
		q[x][i].to=q[q[x][i-1].to][i-1].to;
		q[x][i].f=q[x][i-1].f+q[q[x][i-1].to][i-1].f;
		q[x][i].g=q[x][i-1].g+q[q[x][i-1].to][i-1].g;
	}
	for(int i=last[x];i;i=next[i]) if(tov[i]!=fa) dfs2(tov[i],x);
}
int main()
{
	int n,i,j,k,x,y,qs,p;
	scanf("%d",&tn);
	e[0]=1;
	for(i=1;i<=16;i++) e[i]=e[i-1]*2;
	while(tn--)
	{
		scanf("%d",&n);
		memset(last,0,sizeof(last));
		memset(deg,0,sizeof(deg));
		len=0;
		for(i=1;i<n;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			x++,y++;
			deg[x]++,deg[y]++;
			add(x,y);add(y,x);
		}
		deep[1]=0;
		memset(g,0,sizeof(g));
		memset(f,0,sizeof(f));
		dfs(1,0);
		dfs1(1,0,0);
		dfs2(1,0);
		scanf("%d",&qs);
		for(i=1;i<=qs;i++)
		{
			scanf("%d",&p);
			int la,no;
			scanf("%d",&la);
			la++;
			int ans=0;
			for(j=2;j<=p+1;j++)
			{
				scanf("%d",&no);
				no++;
				x=la,y=no;
				if(deep[x]>deep[y])
				{
					for(k=16;k>=0;k--) if(deep[x]-e[k]>=deep[y]) 
					{
						ans+=q[x][k].f;
						x=q[x][k].to;
					}
				}
				else
				{
					for(k=16;k>=0;k--) if(deep[y]-e[k]>=deep[x])
					{
						ans+=q[y][k].g;
						y=q[y][k].to;
					}	
				}
				if(x!=y)
				{
					for(k=16;k>=0;k--) if(q[x][k].to!=q[y][k].to)
					{
						ans+=q[x][k].f+q[y][k].g;
						x=q[x][k].to;
						y=q[y][k].to;
					}
					ans+=q[x][0].f+q[y][0].g;
				}
				la=no;
			}
			printf("%d.0000\n",ans);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}