Manacher算法操作详解

Manacher

问题引入

• 求一个长度为$n$的字符串中回文子串的个数？
• （或：求一个长度为$n$的字符串中最长的回文子串的长度？）
• 回文串：一个正读和反读相同的字符串，称之为回文串。

用已有的知识

• 算法一：枚举开头，枚举结尾，得到一个串，再扫一遍判断是否为回文串，若是，答案加$1$，时间复杂度$O(n^3)$。
• 算法二：枚举开头，枚举结尾，得到一个串，用字符串哈希判断其是否为回文串，若是，答案加$1$，时间复杂度$O(n^2)$。
• 算法三（对下文有用）：枚举回文串的对称中心，分长度为奇或偶两种情况，分别向两端延伸，若延伸到的最大长度为$s$（以奇数的情况为例，最大扩展到$s{t}_{i-s+1}$和$s{t}_{i+s-1}$），那么答案加上$s$，时间复杂度$O(n^2)$。
• 枚举回文串的对称中心，分长度为奇或偶两种情况，分别二分能延伸的长度，用字符串哈希判断，若延伸到的最大长度为$s$（以奇数的情况为例，最大扩展到$s{t}_{i-s+1}..s{t}_{i+s-1}$），那么答案加上$s$，时间复杂度$O(n{\log }_{2}n)$。

提出疑问

• 有没有更快的方法，比如$O(n)$？
• 有没有更简洁的方法，不用哈希？
• 答案是：有！

算法介绍

• 算法名称：Manacher’s Algorithm
• 主要思路是用已经计算出的回文子串，利用它回文的特性，对即将计算的回文子串提供一定的帮助。
• 需要记录$l,r$表示已经找出的回文子串中，右端点最靠右的回文子串所在区间，
• 初始值分别为$0,-1$。
• 以下以长度为奇数的情况为例，介绍算法操作流程。
• 从$1-n$依次枚举字符串的对称中心，对于每个$i$，考虑向两边扩展，扩展的最长长度为$d_i$（也就是最大扩展到$s{t}_{i-d_i+1}..s{t}_{i+d_i-1}$）。
• 定义朴素算法为上文“用已有的知识”中的算法三，
• 那么我们考虑优化这个朴素算法，算法的核心是利用已有的$d$来加速计算当前的$d_i$。
• 分两种情况：
• 一、$i>r$（若长度为偶数则$i\ge r$）
• 直接调用朴素算法计算$d_i$。
• 二、$i\le r$（若长度为偶数则$i<r$）
• 即说明$i$在回文子串$s{t}_l..s{t}_r$内，那么找到$i$在这个回文子串中对称的点$j$，
  $$j=l+r-i$$
• 因为对称，所以巧妙地利用这个性质，$d_i=d_j$，
• 思考：这样是正确的吗？？
• 其实不然——
• 因为以为中心$j$的回文子串，左边界可能超出$l$，那么对称过去到了$i$就不在大回文子串$s{t}_l..s{t}_r$内了，不能保证也回文，所以
  $$d_i=min(d_j,r-i+1)$$
• 同理，对$i$而言，以它为中心的实际最大回文子串可能右边界超出$r$，那么$d_j$是计算不到的，所以，在上式的基础上，再次调用朴素算法。
• 至此，这个问题完美解决。

时间复杂度分析

• 算法是两重循环，看似复杂度极限会是$O(n^2)$？？？
• 其实并不如此，实际上，它的复杂度十分优秀。
• 观察调用朴素算法的条件，发现每次朴素算法的调用，只会判断还没有被回文子串覆盖过的字符，也就是说，每个字符只会被朴素算法进行一次，
• 这样下来，时间复杂度是均摊$O(n)$的。