常用数论定理（费马小定理&欧拉定理&扩展欧拉定理）

费马小定理

• 若$p$为质数，且$(a,p)=1$，那么则有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

应用

• 一般用于求模质数意义下的逆元，
• 定理两边同时除以$a$有$a^{p-2}\equiv \frac{1}{a}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，
• 则此时$a^{p-2}$即为$a$的逆元。
• 还可以简化模意义下乘方运算的指数，当指数较大时，$a^c\equiv a^{c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(p-1)}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

欧拉定理

• 若$(a,m)=1$，那么则有$a^{\varphi m}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$
• 发现当$m$为质数时，$\varphi m=m-1$，则恰好是费马小定理。其实欧拉定理正是费马小定理的扩展。

应用

• 与费马小定理类似，可以用于求乘法逆元和简化模意义下乘方运算的指数。

扩展欧拉定理

• $a^c\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi p},& (a,p)=1\\ a^c,& (a,p)\ne 1,c<\varphi p\\ a^{c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi p+\varphi p},& (a,p)\ne 1,c\ge \varphi p\end{array}$　　　$(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
• 顾名思义，这是欧拉定理的扩展，扩充到了模数任意的情况。

应用

• 可以在更大的范围内实现乘方运算降幂。