『题解』Luogu P8443 gcd

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题目大意

给定 \(l,r,x\)，求 \(\gcd\left(\left\lfloor\dfrac{l}{x}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{l+1}{x}\right\rfloor,\dots\left\lfloor\dfrac{r}{x}\right\rfloor\right)\)。

特别的，我们定义一个正整数的最大公约数是它本身。

多组数据。

思路

我们先来试着把数套进这个柿子里，找找规律。

例如第一组样例：

\(l=3,r=6,x=1\)。

我们试着套进去：

\[\begin{aligned} \gcd\left(\left\lfloor\dfrac{l}{x}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{l+1}{x}\right\rfloor,\dots\left\lfloor\dfrac{r}{x}\right\rfloor\right)&= \gcd\left(\left\lfloor\dfrac{3}{1}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{4}{1}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{5}{1}\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac{6}{1}\right\rfloor\right)\\ &=\gcd(3,4,5,6)\\ \end{aligned} \]

我们发现，需要参与计算的数是单调上升的，且都是相邻的。

那么我们根据一条性质：相邻的数一定互质。

可以得出这个答案为 \(1\)。

接着我们套第二组数据 \(l=8,r=11,x=4\)，发现是这样的：\(\gcd(2,2,2,2)\)。

答案即为 \(2\)。

那如果我们把 \(r\) 改成 \(12\) 呢？

那么就多了个 \(\left\lfloor\dfrac{12}{4}\right\rfloor=3\)，刚好是 \(2+1\)，与 \(2\) 互质，答案就从 \(2\) 变为了 \(1\)。

我们可以发现，参与 \(\gcd\) 的数由这样三部分组成：

• 首端：一组最少 \(1\) 个，最多 \(x\) 个相同的数，这个数即为 \(\left\lfloor\dfrac{l}{x}\right\rfloor\)。

• 中间：若干组由 \(x\) 个相同的数组成的数列。每组中的数为上一组中的数加一。可以没有这个部分。

• 末尾：同首端。如果没有中间部分，也没有这个部分。

为什么就这么肯定由这几部分组成呢？

先来看看 \(l=0\) 到 \(r=20\) 每个数除以 \(x=4\) 的结果：

\(0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5\)。

很容易从中看出规律来。正如上所述。

显然，只要有两个不同的数，答案就一定为 \(1\)。

于是我们就可以直接判断 \(\left\lfloor\dfrac{l}{x}\right\rfloor\) 和 \(\left\lfloor\dfrac{r}{x}\right\rfloor\) 是否相等即可。

若相等，则整个数列里的数都相同，显然它们的最大公约数即为它们本身。

\[ans= \begin{cases} 1&\left\lfloor\dfrac{l}{x}\right\rfloor\ne\left\lfloor\dfrac{r}{x}\right\rfloor\\\\ \left\lfloor\dfrac{l}{x}\right\rfloor&\left\lfloor\dfrac{l}{x}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{r}{x}\right\rfloor\\ \end{cases} \]

代码

#include <iostream>

using namespace std;

int t;

long long l,r,x;



int main(){

    scanf("%d",&t);

    while(t--){

        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);

        printf("%lld\n",l/x!=r/x ? 1 : l/x);

    }

    return 0;

}