『题解』Luogu P7018 [CERC2013]Bus

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题目大意

有一个公交车，初始时有 \(n\) 个人，每停一站，就会先下去一个人，然后再下去车上剩余的人数的一半。已知经过了 \(k\) 个站后，车上没人了。问：一开始车上有多少人（即 \(n\) 为多少）？

多组数据。

思路

正向开公交车，递推公式为：\(a_i=a_{i+1}-1-\dfrac{a_{i+1}}{2}\) (设 \(a_k\) 为初始站，\(a_1\) 为有 \(n\) 个人时的站台)，那么倒着开（时光倒流）的公式也很容易得出：\(a_i=a_{i-1} \times 2+1\) (同上)。由于经过了 \(k\) 个站，每次都会正向推 \(k\) 次，变成 \(0\)。所以我们从 \(0\) 开始逆推，推 \(k\) 次，即可得到答案。

但是又有多组数据，我更想尽可能地节省时间，于是我预处理出了所有答案。直接套上面的逆推公式即可。这样的话，查询可以 \(\mathcal{O}(1)\) 时间复杂度。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int t,k,ans[35];

int main(){
    cin >> t;
    for(int i=1; i<=30; i++){
        ans[i]=ans[i-1]*2+1;
        // 预处理，算出经过1~30个站后人数位 0 时，最初有多少人。
        // 查询时可 O(1)。
    }
    while(t--){
        cin >> k;
        cout << ans[k] << endl;
    }
    return 0;
}