『学习笔记』前缀和与差分

今天我在 \(\texttt{OI-Wiki}\) 艰难地学废了前缀和与差分，其设计十分精妙，用于序列中进行各种操作的场景，例如区间加法、减法，求出区间和等等。

为方便表示，定义左上角为 \((x_1,y_1)\)，右下角为 \((x_2,y_2)\) 的矩阵为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)。

前缀和

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。可以简单理解为“数列的前 \(n\) 项的和”。
——\(\texttt{OI-Wiki}\)

一维前缀和

定义一个数组 \(a\)：\([1,2,3,4,5]\)。

构造

我们要建立一个前缀和数组 \(sum\)，\(sum_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\)，也就是 \(sum_n\) 等于数组 \(a\) 前 \(n\) 项的和。

由此我们可以得到构造 \(sum\) 的公式：

\[sum_i= \begin{cases} a_1 & i=1\\ sum_{i-1}+a_i & i \ne 1 \end{cases} \]

由于在 C++ 中，数组开在全局时默认全部为 \(0\)，我们从 \(a_1\) 开始用，所以不用管边界问题。当 \(i=1\) 时，\(sum_{i-1=0}=0\)，\(sum_{i-1}+a_i\) 也就等于 \(a_i\)。

我们可以一边读入一边建立数组，像这样：

for(int i=1; i<=n; i++){
    cin >> a[i];
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}

那么可得前缀和数组 \(sum\)：\([1,3,6,10,15]\)。

区间查询

假设要查询区间 \([l,r]\) 的和。

可以利用 \(sum_r\) 和 \(sum_{l-1}\) 这两个数。因为区间 \([1,r]\) 减去 \([1,l-1]\) 就只剩 \([l,r]\) 的和了。所以区间 \([l,r]\) 的和即为 \(sum_r-sum_{l-1}\)。

例题

U53525 前缀和（例题）

这题就和上面的栗子一模一样，输入 \(n\) 和数组 \(a\)，直接输出前缀和数组 \(sum\) 即可。

#include <iostream>
using namespace std;
int n,a[105],sum[105];

int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin >> a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        cout << sum[i] << " ";
    }
    puts("");
    return 0;
}

但可以进行空间优化，使用滚动数组，因为每次只需用到 \(sum_i\) 和 \(sum_{i-1}\) 所以可以用 \(a\) 和 \(b\) 两个变量代替，原先的 \(a\) 数组也不需要，直接输入 \(b\) 即可。

#include <iostream>
using namespace std;
int n,a=0,b=0;

int main(){
    cin >> n;
    while(n--){
        cin >> b;
        b+=a;
        cout << b << " ";
        a=b;
    }
    return 0;
}

P1115 最大子段和

上面两道题就是构造数组，这道相对综合一点。

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求出最大连续子段和。

由于要求的是连续子段和，很容易想到递推。也可以说是选择性的前缀和。

老样子，滚动数组，只不过滚动的是前缀和数组，代码中的 \(a\) 只是输入用的，\(b\) 是滚动数组的前一项，\(c\) 是当前这一项的前缀和。

至于 \(c \gets \max{\{b+a,a\}}\)，也很容易理解。\(b\) 是题目中的数组前一项的前缀和，若这一项的前缀和比前一项还小，那么当前的数作为当前前缀和就是最优方案。更新答案就不用多说了吧。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int n,a,b,c,ans=-0x7fffffff;

int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin >> a;
        c=max(b+a,a);
        ans=max(c,ans);
        b=c;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

习题

二维前缀和

我们看 \(a\) 数组：

\[\begin{matrix}& \begin{matrix} 1&2&3\\ \end{matrix}\\ \begin{matrix} 1\\2\\3\\ \end{matrix}& \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix} \end{matrix} \]

设 \(sum_{x,y}=\sum\limits^x_{i=1}\sum\limits^y_{j=1}a_{i,j}\)，那么 \(sum\) 数组：

\[\begin{matrix}& \begin{matrix} 1&2&3\\ \end{matrix}\\ \begin{matrix} 1\\2\\3\\ \end{matrix}& \begin{bmatrix} 1&3&6\\ 5&12&21\\ 12&27&45\\ \end{bmatrix} \end{matrix} \]

构造

现在的第一个问题是如何建立这个数组。

图中应该说得很清楚了，于是我们得到公式：\(sum_{i,j}=sum_{i-1,j}+sum_{i,j-1}-sum_{i-1,j-1}+a_{i,j}\)。

区间查询

如何截取一个矩形？也很简单。

设要截取的矩形的长为 \(x\)，宽为 \(y\)：

可以发现，这和上面的构造差不多。查询公式(设要求矩阵为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\))：

\[\sum\limits^{x}_{u=i}\sum\limits^{y}_{v=y_1}=sum_{i+x,j+y}-sum_{i-1,j+y}-sum_{i+x,j-1}+sum_{i-1,j-1} \]

例题

U184421 退钱

是的，你没看错。这就是我那道 WFOI 被毙掉的题(真的好垃)。

有一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(a\)，给定 \(q\) 次询问，每次询问给出子矩阵坐标 \((x_1,y_1,x_2,y_2)\)，若：

  • 矩阵的数的总和 \(sum \leq m\)，输出 Oh no!。
  • \(sum > m\)，输出 Good!。

怎么样，跟板子没区别吧？

官方题解，应该还可以吧？

P1387 最大正方形

我们要在 \(n \times m\) 的只包含 \(0\) 和 \(1\) 的矩阵里找出一个不包含 \(0\) 的最大正方形，输出边长。

这题数据范围很小，\(1\le{n,m}\le100\) 矩阵的值只包含 \(0\) 和 \(1\)，虽说可以使用 \(bool\) 但是这些我推荐使用 \(int\)，除非你怕爆栈。

首先构造前缀和数组，不用多说，直接套：\(sum_{i,j}=sum_{i-1,j}+sum_{i,j-1}-sum_{i-1,j-1}+a_{i,j}\) 。

两层循环，\(i\) 从 \(1\) 到 \(n-1\)，\(j\) 从 \(1\) 到 \(m-1\)。

题目要求输出正方形，再套一层循环，变量 \(l\) 枚举 \(1\)~\(\min(n-i,m-i)\)，因为最大的边长等于 \(n-i\) 和 \(m-i\) 中最小的那个。

每次判断：\(sum_{i+l,j+l}-sum_{i+l,j}-sum_{i,j+l}+sum_{i,j}==l \times l\)，\(l \times l\) 就是这个矩形的面积，如果和等于面积，那么就能确定这个矩形全部为1，更新 \(ans\)：\(ans=\max(ans,l)\)。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int n,m,a[105][105],sum[105][105],ans;

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++){
            cin >> a[i][j];
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    for(int i=1; i<n; i++)
        for(int j=1; j<m; j++)
            for(int l=1,t=min(n-i,m-j); l<=t; l++)
                if(sum[i+l][j+l]-sum[i+l][j]-sum[i][j+l]+sum[i][j]==l*l)
                    ans=max(ans,l);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

习题

差分

差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。

——OI-Wiki

上面提到过差分，差分是前缀和的逆运算，也就是将一个前缀和数组转换成原数组。

一维差分

差分可以用来解决区间加法之类的问题，但中间如果要修改就不太适合了。

一般情况下，使用差分，会将原数组看作一个前缀和数组，然后将每一项差分成这个前缀和数组的原数组，递推式为：\(dif_i=a_i-a_{i-1}(a_0=0)\) 其中 \(dif\) 表示差分数组。

如何修改呢？我们可以分析一下原数组改动对前缀和数组的影响（\(dif\) 为原数组，\(a\) 为前缀和数组）：如果 \(dif_i \gets dif_i+k\)，那么 \(a_{[i,n]}\) 均会加上 \(k\)。

这式修改 \(a_{[i,n]}\) 的方法，修改 \([l,r]\) 的方法也很容易推理出来：先将 \(dif_l\) 加上 \(k\)，就是将 \(a_{[l,n]}\) 都加上了 \(k\)。你会发现 \(a_{[r+1,n]}\) 这个区间也加上了 \(k\)，这时只需将 \(dif_{r+1}\) 加上 \(k\) 即可。

构造差分数组：

for(int i=1; i<=n; i++){
    cin >> a[i];
    dif[i]=a[i]-a[i-1];
}

区间加（将区间 \([l,r]\) 加上 \(k\)）：

dif[l]+=k;
dif[r+1]-=k;

最后求原数组时，只需对 \(dif\) 进行一次前缀和操作，即可得到修改后的原数组。

通过这些精妙的计算，可以快速地实现区间加法，并在最后使用 \(\mathcal{O}(n)\) 的时间复杂度得出最终数组。

例题

U69096 前缀和的逆

读入前缀和数组 \(sum\)，让你求原数组 \(a\)，我们只需每次读入后减去上一个就行了：\(a_i=sum_i-sum_{i-1}\)。

正常爆栈数组版代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int n,a[105],sum[105];

int main(){
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin >> sum[i];
        a[i]=sum[i]-sum[i-1];
        cout << a[i] << " ";
    }
    puts("");
    return 0;
}

滚动数组版代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int n,a,b;

int main(){
    cin >> n;
    while(n--){
        cin >> b;
        int t=a;
        a=b;
        b-=t;
        cout << b << " ";
    }
    return 0;
}

这一题是建立差分数组的题。

话说明明到底男的还是女的？

P2367 语文成绩

题目大意：有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，\(p\) 次操作，每次操作给出三个数 \(x,y,z\)，代表给区间 \(a_{[x,y]}\) 加上 \(k\)。问：最终的最小值是多少？

很简单，对原数列进行差分，每次操作区间加，最后进行前缀和操作，可以一边进行前缀和一边找最小值，具体见代码。

#include <iostream>
using namespace std;
int n,p,a[5000005],dif[5000005],ans=0xfffffff;

int main(){
    cin >> n >> p;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        cin >> a[i];
        dif[i]=a[i]-a[i-1]; // 构造差分数组
    }
    while(p--){
        int x,y,z;
        cin >> x >> y >> z;
        dif[x]+=z,dif[y+1]-=z; // 实现区间加
    }
    for(int i=1; i<=n; i++){
        a[i]=a[i-1]+dif[i]; // 对dif进行前缀和操作，得到原数组
        ans=min(ans,a[i]); // 在前缀和的同时，可以直接统计答案
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

习题

二维差分

就是二维矩阵上进行差分，和前缀和很像。

我们定义一个原矩阵 \(a\)，构造出矩阵 \(dif\)，使得 \(a_{i,j}=\sum\limits^{i}_{x=1}\sum\limits^{j}_{y=1}dif_{x,y}\)，那么 \(a\) 就是 \(dif\) 的前缀和矩阵，\(dif\) 是 \(a\) 的差分矩阵。\(a_{i,j}\) 也就是 \(dif\) 中左上角为 \((1,1)\)，右下角为 \((i,j)\) 的子矩阵之和。

构造

构造就先看图就行了：

如果不太懂的话可以看下面的区间修改，和构造非常像。

区间修改

若将 \(dif_{i,j}\) 进行修改，那么对 \(dif\) 进行前缀和后，\((i,j),(n,m)\) (其中 \(n\) 为 \(dif\) 的行数，\(m\) 为 \(dif\) 的列数) 这个矩阵就都会被修改。

设要修改的矩阵为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，可以先将 \(dif_{x_1,y_1}\) 修改，这样矩阵 \((x_1,y_1),(n,m)\) 就都被修改了。这里和构造非常像，只是将构造中的 \(i\) 替换为 \(x_1\)，\(j\) 替换为 \(y_1\)，\(i+1\) 替换为 \(x_2\)，\(j+1\) 替换为 \(y_2\)。

然而，矩阵 \((x_2+2,y_1),(n,m)\) 和矩阵 \((x_1,y_2+1),(n,m)\) 却多修改了。我们只需将 \(dif_{x_2+1,y_1}\) 和 \(dif_{x_1,y_2+1}\) 修改一下即可，但这里修改和上面的相反，例如，上面是 \(dif_{x_1,y_1} \gets dif_{x_1,y_1}+k\)，那么这里就是 \(dif_{x_2+1,y_1} \gets dif_{x_2+1,y_1}-k\) 和 \(dif_{x_1,y_2+1} \gets dif_{x_1,y_2+1}-k\)。

最后，还有一个问题，就是矩阵 \((x_2+1,y_2+1),(n,m)\) 多减了一次，所以将 \(dif_{x_2+1,y_2+1}\) 进行正面修改即可。

代码：

dif[x1][y1]+=c;
dif[x2+1][y1]-=c;
dif[x1][y2+1]-=c;
dif[x2+2][y2+1]+=c;

单点查询

只需对 \(dif\) 数组跑一遍前缀和，再取前缀和数组里的值即可。

代码：

for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=1; j<=m; j++){
        a[i][j]=b[i][j]+a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];
    }
}

习题

\(P.S.\) 二维差分题目好少，洛谷上找不到什么题，可以去其它 OJ 上看看。只是我懒得看了。

说句闲话：研究前缀和与差分的最好方法是

A 了这吨题

祝你们成功（滑稽

有些数据结构会用到差分思想，例如树状数组等。但是二维差分就用的不多了。而差分可以说是基于前缀和的，所以这个算法要熟练掌握。

posted @ 2022-01-21 21:33  仙山有茗  阅读(421)  评论(0)  编辑  收藏  举报