5. 最长回文子串

求最长回文子串是一道经典问题，最经典的方法即为动态规划和中心扩展，复杂度都为$O(n)$，解法如下：

动态规划

用 $P(i,j)$表示字符串s的第i到j个字母组成的串$s[i,j]$是否为回文串：

$$P(i,j)= \begin{cases} true & s[i,j]为回文串 \\ false & 其他情况 \\ \end{cases}$$

通过上述方程我们可以得到$P(i,j)$的状态转移方程：
$P(i,j)=P(i+1,j-1)\and (S_i==S_j)$
边界条件为：

$$\begin{cases} P(i,i)=true\\ P(i,i+1)=(S_i==S_j)\\ \end{cases}$$

注意动态规划的循环顺序:从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移。
代码：（leetcode官方题解）

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        if (n < 2) {
            return s;
        }

        int maxLen = 1;
        int begin = 0;
        // dp[i][j] 表示 s[i..j] 是否是回文串
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        // 初始化：所有长度为 1 的子串都是回文串
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = true;
        }
        // 递推开始
        // 先枚举子串长度
        for (int L = 2; L <= n; L++) {
            // 枚举左边界，左边界的上限设置可以宽松一些
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                // 由 L 和 i 可以确定右边界，即 j - i + 1 = L 得
                int j = L + i - 1;
                // 如果右边界越界，就可以退出当前循环
                if (j >= n) {
                    break;
                }

                if (s[i] != s[j]) {
                    dp[i][j] = false;
                } else {
                    if (j - i < 3) {
                        dp[i][j] = true;
                    } else {
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                    }
                }

                // 只要 dp[i][L] == true 成立，就表示子串 s[i..L] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxLen) {
                    maxLen = j - i + 1;
                    begin = i;
                }
            }
        }
        return s.substr(begin, maxLen);
    }
};

中心扩展

枚举每一个回文中心（一个字符或者两个字符），然后不断向外拓展，每次拓展结束后取最大值即可。
代码：（leetcode官方题解）

class Solution {
public:
    pair<int, int> expandAroundCenter(const string& s, int left, int right) {
        while (left >= 0 && right < s.size() && s[left] == s[right]) {
            --left;
            ++right;
        }
        return {left + 1, right - 1};
    }

    string longestPalindrome(string s) {
        int start = 0, end = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            auto [left1, right1] = expandAroundCenter(s, i, i);
            auto [left2, right2] = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
            if (right1 - left1 > end - start) {
                start = left1;
                end = right1;
            }
            if (right2 - left2 > end - start) {
                start = left2;
                end = right2;
            }
        }
        return s.substr(start, end - start + 1);
    }
};

拓展：Manacher 算法

比较难的算法，但是可以将时间复杂度降低到$O(n)$：
此处贴一个外部链接：
https://blog.csdn.net/qq_43152052/article/details/100784978