网络流杂题
luogu P4313 文理分科
题意：给定一个 \(n \cdot m\) 的网格，将网格黑白染色。每个点有被染成黑色或白色后的权值，同时也有相邻的（指有一条相同的边）的点和自己相同全都被染成黑色或白色后的权值，要求最大化权值和。
\(n,m<=100\)
经典最小割模型，一个点被割到 \(S\) 或 \(T\) 表示被染成某一种颜色。每个点先和 \(S\) 与 \(T\) 连边，然后每个点再和其相邻的点连一条容量为 \(INF\) 的边，表示永远不会被割开，然后用总权值减去最小割即可。
CF704D Captain America
题意：二维平面上有 \(n\) 个点，每个点的坐标为 \((x_i,y_i)\) 。每个点都要被涂为红色或蓝色，价格分别为 \(r\) 和 \(b\)
。同时还有 \(m\) 个限制，有两种：\(1 \,l \,d\) 表示在直线 \(x=l\) 上两种颜色的点的数量之差不超过 \(d\) ；\(2 \, l\,d\) 表示在直线 \(y=l\) 上两种颜色的点的数量之差不超过 \(d\)。要求构造出一种涂色方案且总花费最少，或判断无法构造。
\(n,m<=1e5 \;\; x_i,y_i<=1e9\)
先对坐标离散化一下。对于二维平面上的点 \((x_i,y_i)\) ，经典做法是将 \(x\) 和 \(y\) 拆开，当成左部点和右部点，分别向 \(S\) 和 \(T\) 连边。我们先假设 \(r<=b\) ，涂红我们就可以看作 \(x\) 到 \(y\) 有流。假设一条直线上有 \(a\) 个点，且这条直线要求数量之差为 \(d\)，那么这条直线上红点的数量在 \([\,max(0,\lceil{\frac{a-d}{2}}\rceil)\;,\;min(a,\lfloor{\frac{a+d}{2}}\rfloor)\,]\) 之间（解个方程就能得到），即流量有上下界，且要求红点的数量尽可能多，那么我们直接跑一个有源汇有上下界最大流，就能得到红点的数量，剩下的就是蓝点，至此费用就算出来了。对于构造方案，我们遍历每个点对应的那一条边，若它被流过（即反向边上有流量），说明被涂成了红色，否则蓝色。
无解的情况也好判断，一是有某条直线，其上界比下界还大；或者有源汇有上下界最大流本身无解。
luogu P2071 座位安排
题意：有 \(2n\) 个人和 \(n\) 个座位，每个座位只能坐 \(2\) 人，且每个人都有自己想坐的座位，问最多多少人可以做到自己想坐的座位。
\(n<=2000\)
裸题。将人和座位匹配，\(S\) 向座位连容量是 \(1\) 的边，每个人向 \(T\) 连容量为 \(2\) 的边，每个座位向对应的人连容量为 \(1\) 的边，然后跑最大流即可。
luogu P4043[AHOI2014/JSOI2014]支线剧情
题意：给定一个 \(n\) 个点的 \(DAG\) 有边权。从 \(1\) 号点出发，到达一个点可以选择继续走，也可以选择直接回到 \(1\) 号点重新开始，这个操作不需要代价。求要经过所有边的最小边权和。
\(n\le 300\)
考虑每条边的边权可以看成走这条边的费用，走的次数就可以看成流量，所以直接建图。\(S\) 向 \(1\) 号点连边，因为每条边都要至少走一次，所以考虑上下界网络流，将其下界设为 \(1\)，上界为 \(INF\) 。同时因为可以从除 \(1\) 以外的任意点结束，所以将除 \(1\) 以外的点向 \(T\) 连边，然后跑有源汇有上下界最小费用可行流。与上下界可行流类似，只需要最后算上每条边费用乘下界即可。
CF843E Maximum Flow
题意：给定一个网络流图，每条边的容量未知，同时有一个隐藏的最大流方案。每条边有 \(g_i\) ，若 \(g_i=0\) 表示这条边无流量流过，若 \(g_i=1\) 表示有流量。要求最小化满流的边的数量，同时输出这种条件下每条边的流量与容量。
\(2\le n\le 100\;\; 1\le m\le 1000\)
考虑到最小割上的边一定是满流的，所以我们要求边数最少的最小割。对于 \(g_i=0\) ，我们连边 \((u,v,INF)\) ，因为这条边没有流，就一定能从 \(u\) 走到 \(v\) ，那么它们就不能割掉。对于 \(g_i=1\) ，因为这条边有流量，所以其反向边一定有流量。同理，若没有满流，那么 \(u\) 可以到 \(v\) 。若满流，就可以加入到最小割中。所以我们连边 \((u,v,1),(v,u,INF)\) 。然后我们跑一个 \(S\) 到 \(T\) 的最小割即可。
然后我们考虑怎么构造方案。对于 \(g_i=1\) 的边，其流量就有了下界 \(1\) ，那我们跑上下界可行流即可。对于 \(g_i=0\) 的边，其容量可设为 \(INF\) ，流量为 \(0\) 。对于 \(g_i=1\) 的边，最终这条边的流量就是得到的可行流（记得加下界 \(1\) ）。同时若这条边在最小割中，其容量要与流量相等，表示满流。否则容量设为 \(INF\) 即可。
