网络流杂题

luogu P4313 文理分科

​ 题意：给定一个 $n \cdot m$ 的网格，将网格黑白染色。每个点有被染成黑色或白色后的权值，同时也有相邻的（指有一条相同的边）的点和自己相同全都被染成黑色或白色后的权值，要求最大化权值和。

​ $n,m<=100$

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经典最小割模型，一个点被割到 $S$ 或 $T$ 表示被染成某一种颜色。每个点先和 $S$ 与 $T$ 连边，然后每个点再和其相邻的点连一条容量为 $INF$ 的边，表示永远不会被割开，然后用总权值减去最小割即可。

CF704D Captain America

​ 题意：二维平面上有 $n$ 个点，每个点的坐标为 $(x_i,y_i)$ 。每个点都要被涂为红色或蓝色，价格分别为 $r$ 和 $b$

。同时还有 $m$ 个限制，有两种：$1 \,l \,d$ 表示在直线 $x=l$ 上两种颜色的点的数量之差不超过 $d$ ；$2 \, l\,d$ 表示在直线 $y=l$ 上两种颜色的点的数量之差不超过 $d$。要求构造出一种涂色方案且总花费最少，或判断无法构造。

​ $n,m<=1e5 \;\; x_i,y_i<=1e9$

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先对坐标离散化一下。对于二维平面上的点 $(x_i,y_i)$ ，经典做法是将 $x$ 和 $y$ 拆开，当成左部点和右部点，分别向 $S$ 和 $T$ 连边。我们先假设 $r<=b$ ，涂红我们就可以看作 $x$ 到 $y$ 有流。假设一条直线上有 $a$ 个点，且这条直线要求数量之差为 $d$，那么这条直线上红点的数量在 $[\,max(0,\lceil{\frac{a-d}{2}}\rceil)\;,\;min(a,\lfloor{\frac{a+d}{2}}\rfloor)\,]$ 之间（解个方程就能得到），即流量有上下界，且要求红点的数量尽可能多，那么我们直接跑一个有源汇有上下界最大流，就能得到红点的数量，剩下的就是蓝点，至此费用就算出来了。对于构造方案，我们遍历每个点对应的那一条边，若它被流过（即反向边上有流量），说明被涂成了红色，否则蓝色。

无解的情况也好判断，一是有某条直线，其上界比下界还大；或者有源汇有上下界最大流本身无解。

luogu P2071 座位安排

​ 题意：有 $2n$ 个人和 $n$ 个座位，每个座位只能坐 $2$ 人，且每个人都有自己想坐的座位，问最多多少人可以做到自己想坐的座位。

​ $n<=2000$

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裸题。将人和座位匹配，$S$ 向座位连容量是 $1$ 的边，每个人向 $T$ 连容量为 $2$ 的边，每个座位向对应的人连容量为 $1$ 的边，然后跑最大流即可。

luogu P4043[AHOI2014/JSOI2014]支线剧情

​ 题意：给定一个 $n$ 个点的 $DAG$ 有边权。从 $1$ 号点出发，到达一个点可以选择继续走，也可以选择直接回到 $1$ 号点重新开始，这个操作不需要代价。求要经过所有边的最小边权和。

​ $n\le 300$

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考虑每条边的边权可以看成走这条边的费用，走的次数就可以看成流量，所以直接建图。$S$ 向 $1$ 号点连边，因为每条边都要至少走一次，所以考虑上下界网络流，将其下界设为 $1$，上界为 $INF$ 。同时因为可以从除 $1$ 以外的任意点结束，所以将除 $1$ 以外的点向 $T$ 连边，然后跑有源汇有上下界最小费用可行流。与上下界可行流类似，只需要最后算上每条边费用乘下界即可。

CF843E Maximum Flow

​ 题意：给定一个网络流图，每条边的容量未知，同时有一个隐藏的最大流方案。每条边有 $g_i$ ，若 $g_i=0$ 表示这条边无流量流过，若 $g_i=1$ 表示有流量。要求最小化满流的边的数量，同时输出这种条件下每条边的流量与容量。

​ $2\le n\le 100\;\; 1\le m\le 1000$

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考虑到最小割上的边一定是满流的，所以我们要求边数最少的最小割。对于 $g_i=0$ ，我们连边 $(u,v,INF)$ ，因为这条边没有流，就一定能从 $u$ 走到 $v$ ，那么它们就不能割掉。对于 $g_i=1$ ，因为这条边有流量，所以其反向边一定有流量。同理，若没有满流，那么 $u$ 可以到 $v$ 。若满流，就可以加入到最小割中。所以我们连边 $(u,v,1),(v,u,INF)$ 。然后我们跑一个 $S$ 到 $T$ 的最小割即可。

然后我们考虑怎么构造方案。对于 $g_i=1$ 的边，其流量就有了下界 $1$ ，那我们跑上下界可行流即可。对于 $g_i=0$ 的边，其容量可设为 $INF$ ，流量为 $0$ 。对于 $g_i=1$ 的边，最终这条边的流量就是得到的可行流（记得加下界 $1$ ）。同时若这条边在最小割中，其容量要与流量相等，表示满流。否则容量设为 $INF$ 即可。