左偏树学习笔记
左偏树
左偏树是堆的一种，具有堆的性质，同时支持快速合并，所以也被称为可并堆。先来看一些定义：
我们把一个左子树或右子树为空的节点叫做外节点。定义一个节点的\(\;dist\) 为该节点到子树中最近的外节点的距离加\(1\)，特殊地，外节点的\(\;dist\;\)为\(1\)，空节点的\(\;dist\;\)默认为\(0\)。
注意：一个节点的\(\;dist\;\)不是深度
然后我们看一下左偏树，它满足每个节点的左儿子的\(\;dist\;\)大于等于右儿子的\(\;dist\;\)。所以左偏树满足两个性质：堆的性质以及左偏性。
那我们又可以得到一个新的结论，既然它满足左偏性，那么对于一个节点的\(\;dist\;\)，是由其右儿子的\(\;dist\;\)决定的，所以我们得到如下式子：
\(tr[x].dist = tr[tr[x].r].dist+1\)
左偏树的核心操作就是合并。那我们以小根堆为例，假设我们现在有堆\(x\)和堆\(y\)，我们要让值较小的那个成为新堆的根，然后递归合并其右儿子和另一个堆即可。由于需要满足左偏性质，如果合并后左儿子的\(\;dist\;\)小于右儿子的\(\;dist\;\)，交换左右儿子。
合并代码如下：
int merge(int x,int y)//返回合并后的堆顶
{
if(x==0 || y==0) return x+y;//有一个堆是空的
if(tr[x].v<tr[y].v) swap(x,y);
tr[x].r=merge(tr[x].r,y);
if(tr[tr[x].r].dis>tr[tr[x].l].dis) swap(tr[x].l,tr[x].r);
tr[x].dis=tr[tr[x].r].dis+1;
return x;
}
合并操作复杂度为\(\;O(logn+logm)\;\)，其中\(n\;m\)分别为两个堆的大小。
然后是一些拓展应用
插入节点
将节点看成一个堆，直接合并即可
删除堆顶元素
考虑直接合并堆顶的左儿子和右儿子，就相当于把堆顶删掉了
在每个节点上也可以维护一些信息和懒标记
题目练习
左偏树模板题，我们对每个节点\(i\)维护一个其所在的堆的堆顶元素\(fa[i]\)，运用类似并查集状态压缩的技巧去查找堆顶元素。对于合并堆\(\,x\,\)和\(\,y\,\)，我们需要更新\(fa\)数组\(\,fa[x]=fa[y]=merge(x,y)\)
Monkey King
与上一道题类似，对于将一个节点\(\,p\,\)的\(\;val\;\)减少一半这个操作，我们先将节点\(\,p\,\)的左儿子和右儿子合并，删除原来的节点\(\,p\,\)，得到一个新的根\(\,root\,\)，再将\(\,root\,\)和\(\,p\,\)再次合并就能将\(\,p\,\)重新插入回去。
罗马游戏
还是那些经典的操作，直接维护即可。
[APIO2012] 派遣
树上合并左偏树的经典应用，每个堆维护大小和权值和。初始每个节点为一个单独的堆，在 \(dfs\) 的时候一路向上合并即可。
