莫比乌斯反演学习笔记

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前段时间学习了莫比乌斯反演，现在补一篇学习笔记吧。

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Step 1：莫比乌斯函数

首先我们来定义一下莫比乌斯函数 $\mu$ ，它的取值如下：

$$\mu (n)=\{\begin{array}{l}1n=1\\ (-1{)}^{k}n=p_1{p}_2\cdots p_k\\ 0otherwise\end{array}$$

显然，莫比乌斯函数是一个积性函数，所以我们可以用线性筛将他筛出来。

莫比乌斯函数具有很好的容斥性，在一部分题目中会用得到。

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Step 2：狄利克雷卷积

话分一头，我们来先学习一下另一个鬼东西：狄利克雷卷积。

引用一下我的另一个blog

Step 3: 莫比乌斯反演

写了这么久终于要开始正式讲解了。

我们定义两个函数 $f,F$。其中：

$$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$$

然后我们要去推这么一个柿子：

$$f(n)=\sum _{d|n}F(d)\mu (\frac{n}{d})$$

我们先列出几项：

$$F(1)=f(1)$$

$$F(2)=f(1)+f(2)$$

$$F(3)=f(1)+f(3)$$

$$F(4)=f(1)+f(2)+f(4)$$

可以得出：

$$f(1)=F(1)$$

$$f(2)=F(2)-F(1)$$

$$f(3)=F(3)-F(1)$$

$$f(4)=F(4)-F(2)$$

emmm,好像看不出来什么

接下来我们就要用狄利克雷卷积来证明他。

首先，很明显的是

$$F=f\ast I$$

两边同时卷上个 $\mu$:

$$F\ast \mu =f\ast I\ast \mu$$

然后我们知道

$$I\ast \mu =\epsilon$$

$$\therefore F\ast \mu =f\ast \epsilon$$

$$F\ast \mu =f$$

证毕。

同样，我们也可证出莫比乌斯反演的另一种形式：

$$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$$

$$f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$$

后者更加常用（虽然一般做题都不会生搬硬套上面两个形式）。

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我们来举个例子使用莫比乌斯反演来做一做：
给定一个数 $n$，求以下式子的值：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)\cdots \cdots A$$

$1\le n\le {10}^5$。

first：

暴力枚举，时间 $O(n^2\log n)$

second:

接下来就是用莫比乌斯反演推柿子的时间了。

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$$

我们改变枚举顺序，先枚举 $gcd(i,j)$。

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)==d]$$

我们把 $i,j$ 的枚举范围稍加改变，只枚举 $d$ 的倍数。

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum _{j=1}^{[\frac{n}{d}]}[gcd(i,j)==1]$$

接下来就是见证奇迹的时刻：

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum _{j=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum _{k|gcd(i,j)}\mu (k)$$

这是为什么呢？因为 $\mu \ast 1=\epsilon$，所以柿子值是不变的。

我们再次改变枚举顺序，先枚举 $k$。

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{[\frac{n}{d}]}\mu (k)\sum _{i=1}^{[\frac{n}{d}]}\sum _{j=1}^{[\frac{n}{d}]}1$$

经过我们的一通瞎操作这个柿子终于变得毒瘤起来了。

我们发现最后的两个 $\sum$ 其实是不必要的，我们可以把它变成$[\frac{n}{d}{]}^2$。
式子变成了这样：

$$=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{[\frac{n}{d}]}\mu (k)[\frac{n}{d}{]}^2\cdots \cdots B$$

这个柿子呢我们来分析一下它的复杂度，应该为：

$$\sum _{i=1}^n[\frac{n}{i}]$$

这个东西我们把它称为调和级数，计算出来约是等于 $O(n\ln n)$。

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其实这个柿子还可以优化，以下有两种优化方法：

1.数论分块：

引理：对于正整数 $n$, $S=\{x|x=[\frac{n}{i}],i\in N^{\ast }\}$，$|S|$ 与 $\sqrt{n}$同阶

这个引理本人太菜了不会证明，先放个坑以后填上，但结论是正确的。

那么上面这个 $B$ 式我们就可以将所有 $[\frac{n}{i}]$ 相等的数统一计算可以达到 $O(n)$ 的优秀复杂度。

2.继续将柿子优化：

我们可以设 $T=dk$，然后柿子就变成了这样：

$$\sum _{T=1}^n\sum _{d|T}d\mu (\frac{T}{d})[\frac{n}{d}{]}^2$$

其中我们发现 ${\displaystyle \sum _{d|T}d\mu (\frac{T}{d})}$可以用一种类似埃式筛的方法预处理，时间复杂度为 $O(n\ln n)$，然后 $O(\sqrt{n})$ 的速度输出答案

第一种方法适合单次输出答案，第二种方法适合多测，一般使用第二种方法。