梯度下降算法

梯度下降算法详解

介绍

如果说在机器学习领域有哪个优化算法最广为认知，用途最广，非梯度下降算法莫属。梯度下降算法是一种非常经典的求极小值的算法，比如在线性回归里我们可以用最小二乘法去解析最优解，但是其中会涉及到对矩阵求逆，由于多重共线性问题的存在是很让人难受的，无论进行L1正则化的Lasso回归还是L2正则化的岭回归，其实并不让人满意，因为它们的产生是为了修复此漏洞，而不是为了提升模型效果，甚至使模型效果下降。但是换一种思路，比如用梯度下降算法去优化线性回归的损失函数，完全就可以不用考虑多重共线性带来的问题。其实不仅是线性回归，逻辑回归同样是可以用梯度下降进行优化，因为这两个算法的损失函数都是严格意义上的凸函数，即存在全局唯一极小值，较小的学习率和足够的迭代次数，一定可以达到最小值附近，满足精度要求是完全没有问题的。并且随着特征数目的增多（列如100000），梯度下降的效率将远高于去解析标准方程的逆矩阵。神经网络中的后向传播算法其实就是在进行梯度下降，GDBT(梯度提升树)每增加一个弱学习器（CART回归树）,近似于进行一次梯度下降，因为每一棵回归树的目的都是去拟合此时损失函数的负梯度，这也可以说明为什么GDBT往往没XGBoost的效率高，因为它没办法拟合真正的负梯度，而Xgboost 的每增加的一个弱学习器是使得损失函数下降最快的解析解。总之梯度下降算法的用处十分广泛，我们有必要对它进行更加深入的理解。

关于梯度下降算法的直观理解

关于梯度下降算法的直观理解，我们以一个人下山为例。比如刚开始的初始位置是在红色的山顶位置，那么现在的问题是该如何达到蓝色的山底呢？按照梯度下降算法的思想，它将按如下操作达到最低点：

第一步，明确自己现在所处的位置

第二步，找到相对于该位置而言下降最快的方向

第三步， 沿着第二步找到的方向走一小步，到达一个新的位置，此时的位置肯定比原来低

第四部， 回到第一步

第五步，终止于最低点

按照以上5步，最终达到最低点，这就是梯度下降的完整流程。当然你可能会说，上图不是有不同的路径吗？是的，因为上图并不是标准的凸函数，往往不能找到最小值，只能找到局部极小值。所以你可以用不同的初始位置进行梯度下降，来寻找更小的极小值点，当然如果损失函数是凸函数就没必要了，开开心心的进行梯度下降吧！比如下面这种：

问题是，如何用数学语言去描述以上5步呢？

梯度下降算法的理论推导

一元函数

一元函数的导数我相信大家都学过，其几何意义是某点切线的斜率，除此之外它还能表示函数在该点的变化率，导数越大，说明函数在该点的变化越大。

\[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \]

则导函数本身则代表着函数沿着ｘ方向的变化率

二元函数

对于二元函数，ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ），它对ｘ和ｙ的偏导数分别表示如下：

函数在ｙ方向不变的情况下，函数值沿ｘ方向的变化率

函数在ｘ方向不变的情况下，函数值沿ｙ方向的变化率

有了以上的了解，我们分别知道了函数在单独在ｘ和ｙ方向上的变化率

现在有一个问题，我想知道函数在其他方向上的变化率怎么办？

比如下图中的ｕ方向上：

其实是可以做到的，我们都学过，在一平面中，任意一向量都可以用两个不共线的基向量表示，也就是说任意一方向上的变化，都可以分解到ｘ和ｙ两个方向上。

比如，我想求ｕ方向上的变化率，根据导函数的定义

若：

\[\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta u}=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta u * \cos \alpha, y+\Delta u * \sin \alpha)-f(x, y)}{\Delta u} \]

　　　　　　　　　　其中α是ｕ方向与ｘ正方向的夹角

极限存在，可用洛必达法则，分子分母同时对\(\Delta u\)求导

原式等于：

\[\lim _{\Delta u \rightarrow 0} f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alpha=f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alpha \]

令：

\[D_{u}(x, y)=f_{x}(x, y) \cos \alpha+f_{y}(x, y) \sin \alpha \]

这是一个自变量是α的函数，我们将其命名为方向导数，其表明随着α的不同，方向不同，函数的变化率不同。

至此，我们推出了，方向导数的概念，还记得我们的梯度下降算法的第二步是什么吗？

”找到相对于该位置而言下降最快的方向“

而我们的方向导数，本身代表的就是函数变化率与方向的关系，也就是说我们需要利用方向导数，找到使得函数变化率最大的方向

那么，问题来了，在哪一个方向上变化率最大呢？

寻找函数变化率最大的方向－梯度

我们可以这样改写，令：

\[\vec{A}=\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right), \vec{I}=(\cos \alpha, \sin \alpha) \]

则：

\[D_{u} f(x, y)=\vec{A} * \vec{I}=|\vec{A}| *|\vec{I}| * \cos \theta \]

　　　　　　　　　　　　 　θ是两个向量的夹角

显然，当θ＝０时，取得最大方向导数，也就说随着α的改变，当两个向量Ａ和Ｉ是平行的时候，取得最大方向导数，而此时Ｉ的方向就是下式的方向：

\[\left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right) \]

我们把上式称之为梯度，所以梯度方向是函数变化率最大的方向，更本质的说是函数增长最快的方向

所以，当我们需要最小化损失函数时，只需要使损失函数沿着负梯度前行，就能使损失函数最快下降。

更高元函数

二元函数的推导结论同样可作用于更高元的函数。

所以，高元函数在某点的梯度就是对每一个自变量求偏导，组成的一个向量，在该点的取值，该向量的方向就是函数在该点处增长最快的方向，显然，其负方向就是函数减少最快的方向

以下面的函数举个例子，这是一个有n+1个自变量的函数，自变量是θ：

\[J(\theta)=J\left(\theta_{0} ; \theta_{1} ; \theta_{2} ; \ldots ; \theta_{n}\right) \]

首先呢，随机化一个我们梯度下降的初始位置，全部为0吧，当然在神经网络中可不能如此随意：

\[\left[\theta_{0} ; \theta_{1} ; \theta_{2} ; \ldots ; \theta_{n}\right]=[0 ; 0 ; 0 ; \ldots ; 0] \]

计算梯度，对每一个自变量求偏导：

\[\left[\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{0}}, \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{1}}, \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{2}}, \cdots, \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{n}}\right] \]

将初始化的值0，代入上式梯度，就可以得到一个具体的向量，为什么是一个具体的向量呢？这个你要自己想想了

而该向量的方向就是函数在该点增长最快的方向

那么，显然，我们需要往其负方向走一段距离，可是，如何往负方向走呢？其实一样的道理，该负方向同样将其分解到各个自变量的维度上，即其更新过程可写成：

\[\theta_{i} :=\theta_{i}-\alpha \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{i}} \]

式中的减号表示往梯度的负方向改变

а为学习率，是一个大于0的数，它能控制沿着该方向走多长一段距离，不是步长

什么才是真正的步长？

一个式子说明足以，将当前位置θ代入下式，就是在该点处梯度下降的步长：

\[-\alpha\left[\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{0}} ; \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{1}} ; \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{2}} ; \cdots ; \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{n}} ;\right] \]

所以步长是一个有方向和模长的矢量，当然也是符合我们直观上的理解的，你总要确定往哪个方向走以及步子迈多大。

应用：线性回归的梯度下降解法

首先，我们给出线性回归的损失函数，为了方便，不带正则项：

\[J(\theta)=J\left(\theta_{0} ; \theta_{1} ; \theta_{2} \ldots ; \theta_{n}\right)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \]

其中：

\[f\left(x_{i}\right)=\theta_{0} x_{i 0}+\theta_{1} x_{i 1}+\theta_{2} x_{i 2}+\theta_{3} x_{i 3}+\ldots+\theta_{n} x_{i n} \]

\[x_{i}=\left[\begin{array}{c}{x_{i 0}} \\ {x_{i 1}} \\ {x_{i 2}} \\ {x_{i 3}} \\ {\dots} \\ {x_{i n}}\end{array}\right], x_{i 0}=1, y_{i} \in R \]

其更新过程可写成：

\[\theta_{i} :=\theta_{i}-\alpha \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{i}} \]

具体的梯度下降流程：

第一步：先随便假设一组θ,你要是喜欢可以全部取0

第二步循环迭代:

​ 第一次迭代：

\[\theta_{0} :=\theta_{0}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 0} \]

\[\theta_{1} :=\theta_{1}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 1} \]

\[....... \]

\[\theta_{n} :=\theta_{n}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i n} \]

                  第二次迭代：

\[\theta_{0} :=\theta_{0}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 0} \]

\[\theta_{1} :=\theta_{1}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i 1} \]

\[...... \]

\[\theta_{n} :=\theta_{n}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right) x_{i n} \]

\[...... \]

                    第x次迭代：......

第三步，满足要求，循环结束，得到θ

参考资料：

1. 为什么梯度反方向是函数值局部下降最快的方向？https://zhuanlan.zhihu.com/p/24913912
2. 梯度下降（Gradient Descent）小结-刘建平 https://www.cnblogs.com/pinard/p/5970503.html