状态压缩dp与树形dp
状态压缩动态规划
动态规划的状态有时候比较难，不容易表示出来，需要用一些编码技术，把状态压缩的用简单的方式表示出来。典型方式：当需要表示一个集合有哪些元素时，往往利用2进制用一个整数表示。
*：一般有个数据 n<16 或者 n<32 这个很可能就是状态DP的标志，因为我们要用一个int的二进制来表示这些状态。要注意好这些数据规模的提示作用。
*：确定了为状态DP，那么第一步就是预处理，求出每行所有可能的状态了，cnt记录总的状态数，stk[]记录所有的可能状态。以炮兵阵地为例：
int cnt, stk[MAX];
void findStk(int n){ // 求出所有可能的状态。
for(int i = 0; i < (1<<n); i ++)
if(ok(i)){ // 判断这种状态可不可行。
stk[cnt] = i;
sum[cnt ++] = getSum(i); // 计算这种状态包含了几个炮兵。
}
}
bool ok(int x){ // 判断状态x是否符合，即是否会出现两个大炮间隔小于2。
if(x & (x<<1)) return false;
if(x & (x<<2)) return false;
return true;
}
int getSum(int x){ // 求出状态x中安装了多少门大炮，x的二进制有几个1。
int num = 0;
while(x > 0){
if(x & 1) num ++;
x >>= 1;
}
return num;
}
*：然后就是DP部分了，明确好状态转移方程。先特殊处理第1行，然后按状态转移方程求出剩下的值。
经典问题：TSP
一个n个点的带权的有向图，求一条路径，使得这条路经过每个点恰好一次，并且路径上边的权值和最小（或者最大）。或者求一条具有这样性质的回路，这是经典的TSP问题。
n <= 16 (重要条件,状态压缩的标志)
如何表示一个点集：
由于只有16个点，所以我们用一个整数表示一个点集：
例如：
5 ＝ 0000000000000101；（2进制表示）
它的第0位和第2位是1，就表示这个点集里有2个点，分别是点0和点2。
31 ＝ 0000000000011111； （2进制表示）
表示这个点集里有5个点，分别是0，1，2，4，5；
所以一个整数i就表示了一个点集；整数i可以表示一个点集，也可以表示是第i个点。
状态表示：
dp[i][j]表示经过点集i中的点恰好一次，不经过其它的点，并且以j点为终点的路径,权值和的最小值，如果这个状态不存在，就是无穷大。
状态转移：
单点集：状态存在dp[i][j] = 0；否则无穷大。非单点集：
1：状态存在 dp[i][j] = min(dp[k][s] + w[s][j])
k表示i集合中去掉了j点的集合，s遍历集合k中的点并且dp[k][s]状态存在，点s到点j有边存在，w[s][j]表示边的权值。
2.：状态不存在 dp[i][j]为无穷大。
最后的结果是： min( dp[( 1<<n ) – 1][j] ) ( 0 <= j < n )；
技巧：利用2进制，使得一个整数表示一个点集，这样集合的操作可以用位运算来实现。例如从集合i中去掉点j：
k = i & (~( 1<<j)) 或者 k = i - (1<<j)
树型动态规划
树本身就是一个递归的结构，所以在树上进行动态规划或者递推是最合适不过的事情。
必要条件：子树之间不可以相互干扰，如果本来是相互干扰的，那么我们必须添加变量使得他们不相互干扰。
Party at Hali-Bula
题目大意：n个人形成一个关系树，每个节点代表一个人，节点的根表示这个人的唯一的直接上司，只有根没有上司。要求选取一部分人出来，使得每2个人之间不能有直接的上下级的关系，求最多能选多少个人出来，并且求出获得最大人数的选人方案是否唯一。
这是一个经典的树型动态规划，人之间的关系形成树型结构，简单的染色统计是不正确的
DP部分：用dp[i][0]表示不选择i点时，i点及其子树能选出的最多人数，dp[i][1]表示选择i点时，i点及其子树的最多人数。
状态转移方程:
对于叶子节点： dp[k][0] = 0, dp[k][1] = 1
对于非叶子节点i： dp[i][0] = ∑max(dp[j][0], dp[j][1]) (j是i的儿子)
dp[i][1] = 1 + ∑dp[j][0] (j是i的儿子)
最多人数即为：max(dp[0][0], dp[0][1])
如何判断最优解是否唯一?
新加一个状态dup[i][j]，表示相应的dp[i][j]是否是唯一方案。
对于叶子结点：dup[k][0] = dup[k][1] = 1.
对于非叶子结点：
1：i的任一儿子j，若(dp[j][0] > dp[j][1] 且 dup[j][0] == 0) 或 (dp[j][0] < dp[j][1] 且 dup[j][1] == 0) 或 (dp[j][0] == dp[j][1])，则dup[i][0] = 0
2：i的任一儿子j有dup[j][0] = 0, 则dup[i][1] = 0
Strategic game
题目大意：一城堡的所有的道路形成一个n个节点的树，如果在一个节点上放上一个士兵，那么和这个节点相连的边就会被看守住，问把所有边看守住最少需要放多少士兵。
典型的树型动态规划：
dproot[ i ]表示以i为根的子树，在i上放置一个士兵，看守住整个子树需要多少士兵。
all[ i ]表示看守住整个以i为根的子树需要多少士兵。
状态转移方程：
叶子节点：dproot[k] =1； all[k] = 0；
非叶子节点： dproot[i] = 1 + ∑all[j](j是i的儿子)；
all[i] = min( dproot[i], ∑dproot[j](j是i的儿子) )；
