LGV 引理（我还没太想明白，不要被我误导了啊

LGV 引理

条件

• 只作用于有向无环图

定义

• $w(P)$ 表示路径 $P$ 的所有边权的乘积
• $e(u,v)=\sum _{P:u\to v}w(P)$ 表示所有从 $u\to v$ 的路径的 $w(P)$ 之和
• 起点集合 $A=\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$
• 终点集合 $B=\{B_1,B_2,\cdots ,B_n\}$
• $P:A\to B$ 中的 $P$，是一组 $n$ 个路径 $P_1:A_1\to B_{{\sigma }_1},P_2:A_2\to B_{{\sigma }_2},\cdots ,P_n:A_n\to B_{{\sigma }_n}$，
• $P^u:$ 要求这 $n$ 条路径点不相交
• $P^c:$ 要求这 $n$ 条路径点相交
• 矩阵 $M=\left(\begin{array}{cccc}e(A_1,B_1)& e(A_1,B_2)& \cdots & e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1)& e(A_2,B_2)& \cdots & e(A_2,B_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ e(A_n,B_1)& e(A_n,B_2)& \cdots & e(A_n,B_n)\end{array}\right)$

$$\begin{array}{rl}det(M)& =\sum _{\sigma }(-1{)}^{t(\sigma )}\prod _{i=1}^{n}e(A_i,B_{{\sigma }_i})\\ & =\sum _{P^u:A\to B}(-1{)}^{t(\sigma (P^u))}\prod _{i=1}^{n}w(P_i^u)\end{array}$$

证明

$$\begin{array}{rl}det(M)& =\sum _{\sigma }(-1{)}^{t(\sigma )}\prod _{i=1}^{n}e(A_i,B_{{\sigma }_i})\\ & =\sum _{\sigma }(-1{)}^{t(\sigma )}\prod _{i=1}^n\sum _{P:A_i\to B_{{\sigma }_i}}w(P)\\ & =\sum _{P:A\to B}(-1{)}^{t(\sigma (P))}\prod _{i=1}^{n}w(P_i)\\ & =\sum _{P^u:A\to B}(-1{)}^{t(\sigma (P^u))}\prod _{i=1}^{n}w(P_i^u)+\sum _{P^c:A\to B}(-1{)}^{t(\sigma (P^c))}\prod _{i=1}^{n}w(P_i^c)\end{array}$$

• 只需证，$\sum _{P^c:A\to B}(-1{)}^{t(\sigma (P^c))}\prod _{i=1}^{n}w(P_i^c)=0$

• 考虑描述一种 $P^c$，可以用 $n$ 个路径唯一确定，从而 $n$ 个路径能唯一确定一个，相交集，即，若 $P_i^c$，$P_j^c$ 有交点，则 $\{i,j\}\in$ 相交集。

• 不妨给相交集钦定一个偏序关系，$\{a,b\}<\{c,d\}$ 当且仅当，$min(a,b)<min(c,d)$ 或者 $min(a,b)=min(c,d)$ 且 $max(a,b)<max(c,d)$

• 我们取一个相交路径组里，在偏序集的最小的一对路径，$P_a^c,P_b^c$

• 那么我们必然有一个路径组与其对应。那个路径组除了 $P_a^c,P_b^c$ 其他路径都相同，设 $P_a^c,P_b^c$ 的一个交点为 $x$，则可构造 $P_a^c$ 变为 ${P_a^c}_1\cdots \to x\to {P_b^c}_{end}$ 同理 $P_b^c$ 变为 ${P_b^c}_1\cdots \to x\to {P_a^c}_{end}$

• 而正好发现，一对对应的路径组权值相同，逆序对和为偶数，正好相互抵掉，于是，原式为 $0$

应用

[Justice For Everyone QOJ](Justice For Everyone - 题目 - QOJ.ac)

• 假设不考虑任意时刻不能相等的限制，考虑容斥
• 约定 $d_i=b_i-a_i$，$D=\frac{1}{2}\sum d_i$，$S=\sum c_i$

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _S(-1{)}^{|S|}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|S|}{c_1,c_2,\cdots ,c_n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2(D-|S|)}{d_1-2c_1,d_2-2c_2,\cdots ,d_n-2c_n})\\ ans& =\sum _{s=0}^D(-1{)}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{s})(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{c_1,c_2,\cdots ,c_n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2(D-s)}{d_1-2c_1,d_2-2c_2,\cdots ,d_n-2c_n})\\ ans& =\sum _{s=0}^D(-1{)}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{s})s!2(D-s)![x^s]\prod _{i=1}^n\sum _{c=0}^{\lfloor \frac{2}{d_i}\rfloor }\frac{x^c}{(d_i-2c)!c!}\end{array}$$

• 然后我们考虑有限制，不妨画出坐标系

• 对于每个点，我们可以选择操作 1 或者 操作 2 求所有不想交路径的方案数。但有限制，每次此操作，恰好只能有两个 操作 1 作用于不同的 $a_i$。
• 网格图不相交路径计数，不由自主想到 LGV引理，还记得这个吗

$$det(M)=\sum _{\sigma }(-1{)}^{t(\sigma )}\prod _{i=1}^{n}e(A_i,B_{{\sigma }_i})$$

• 这个式子再往后，就等于不相交路径数，嗯，$e(A_i,B_{{\sigma }_i})$ 算不出来，因为上面的容斥是合在一起算的，但 $\prod _{i=1}^{n}e(A_i,B_{{\sigma }_i})$ 在原引理中，表示的是所有 $P:A\to B_{\sigma }$ 的方案。这个恰为上面求得的容斥。
• 可，真的可以这样做吗？应该是可以的（我也没想的很明白）。若这样可以，只需保证，LGV 中 $(-1{)}^{t(\sigma )}$ 能把相交路径容掉。从总的方案来算，考虑 LGV 的证明，首选权值不会变，即所有边权的积，哪怕带容斥系数，在 $s$ 相同的时候也总能找到对应的方案，至于 $s$ 所钦定的方案，与 LGV 计数的容斥无关。逆序对数，就更为显然，由此我们可以，两个容斥套在一起，LGV 直接算总贡献。

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{s=0}^D(-1{)}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{s})s!2(D-s)![x^s]\prod _{i=1}^n\sum _{c=0}^{\lfloor \frac{d_i}{2}\rfloor }\frac{x^c}{(d_i-2c)!c!}\\ ans& =\sum _{\sigma }(-1{)}^{t(\sigma )}\sum _{s=0}^D(-1{)}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{s})s!2(D-s)![x^s]\prod _{i=1}^n\sum _{c=0}^{\lfloor \frac{b_{{\sigma }_i}-a_i}{2}\rfloor }\frac{x^c}{(b_{{\sigma }_i}-a_i-2c)!c!}\\ ans& =\sum _{s=0}^D(-1{)}^s(\genfrac{}{}{0ex}{}{D}{s})s!2(D-s)![x^s]\sum _{\sigma }(-1{)}^{t(\sigma )}\prod _{i=1}^n\sum _{c=0}^{\lfloor \frac{b_{{\sigma }_i}-a_i}{2}\rfloor }\frac{x^c}{(b_{{\sigma }_i}-a_i-2c)!c!}\\ F_d(x)& =\sum _{c=0}^{\lfloor \frac{d}{2}\rfloor }\frac{x^c}{(d-2c)!c!}\\ det(M)& =\sum _{\sigma }(-1{)}^{t(\sigma )}\prod _{i=1}^n{F}_{b_{{\sigma }_i}-a_i}(x)\end{array}$$