[51nod1533] 一堆的堆

问题描述

现在有一个长度为n的数组 a1, a2, ..., an 。然后对于k从1到 n-1分别对该数组建k叉堆。现在要统计对于每一个k叉堆，里面有多少结点是不满足最小堆的性质的。即值比父亲的要小的结点有多少个。

k叉堆的定义是这样的：数组的下标从1到n编号，对于某一个编号为v的结点，他的k个儿子编号是 k(v − 1) + 2, ..., kv + 1 （如果其中某些编号超出n，那些编号就不要）。在k叉堆中，除了根以外，每一个结点都有一个父亲。p(v)表示结点v的父亲。那么一个非根结点不满足最小堆性质当且仅当 av < ap(v) 。

输入格式

单组测试数据。
第一行有一个整数 n (2≤n≤2*10^5)。
第二行有n个用空格分开的整数a1, ..., an (-10^9≤ai≤109)。

输出格式

输出n-1个数字，第k个数字代表k叉堆中不满足最小堆性质的结点数目 （k=1, 2, ..., n-1）。

样例输入

5
1 5 4 3 2

样例输出

3 2 1 0

解析

一个节点不合法当且仅当它的儿子节点中存在比它小的值。观察发现，一个节点在 \(k\) 确定时，它的儿子区间是可以直接算出来的。我们不妨按权值从小到大依次加入点，对每一个点枚举 \(k\) ，判断对应的儿子区间里是否有比他小的值。这个用树状数组就可以高效的实现。

对于每一个点，当 \(k\) 大于一定值的时候整个儿子区间就会到 \(n\) 外面去。所以枚举 \(k\) 是 \(O(n\log n)\) 的。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 300002
using namespace std;
struct node{
	int v,p;
}a[N];
int n,i,j,k,c[N],ans[N];
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w*f;
}
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
int ask(int x)
{
	int ans=0;
	for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) ans+=c[i];
	return ans;
}
void add(int x,int y)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}
int my_comp(const node &a,const node &b)
{
	return a.v<b.v;
}
int main()
{
	n=read();
	for(i=1;i<=n;i++) a[i].v=read(),a[i].p=i;
	sort(a+1,a+n+1,my_comp);
	for(i=k=1;i<=n;i++){
		int pos=a[i].p+1;
		for(j=1;j<n;j++){
			if(pos>n){
				if(pos-j+1<=n) ans[j]+=ask(n)-ask(pos-j);
				else break;
			}
			else ans[j]+=ask(pos)-ask(pos-j);
			pos+=a[i].p;
		}
		if(a[i+1].v!=a[i].v){
			while(k<=i) add(a[k].p,1),k++;
		}
	}
	for(i=1;i<n;i++) printf("%d ",ans[i]);
	puts("");
	return 0;
}