[CF1065E] Side Transmutations

问题描述

考虑一个字符集合A（A中元素互不相同）和一个长度为 n 的字符串 S，其中 S 中的字符都属于集合 A 。

给你一个包含 m 个整数的序列 \(b (b_1<b_2<\dots<b_m)\)。你可以对字符串 S 作以下的操作：

1.选择一个合法的 \(i\) ,并且令 \(k=b_i\) ;

2.取出 \(S\) 中前 \(k\) 个字符 \(Pr_k\) ;

3.取出 \(S\) 中后 \(k\) 个字符 \(Su_k\) ;

4.将 \(S\) 中前 \(k\) 个字符替换成翻转后的 \(Su_k\) ;

5.将 \(S\) 中后 \(k\) 个字符替换成翻转后的 \(Pr_k\) ;

举个例子，我们令 \(S\)= "abcdefghi"，\(k=2\) 。这时\(Pr_2\)= "ab"，\(Su\)= "hi"，翻转后有 \(Pr_2\)= "ba"，\(Su_2\)= "ih"，那么最终得到的字符串 \(S\) 就是 "ihcdefgba"。

这个操作可以被执行许多次（可能是零次），任何一个 \(i\) 也可以被使用多次。

我们将字符串 \(S\) 和 \(T\) 称为相等的字符串，当且仅当存在一个操作序列，将字符串 \(S\) 变成 \(T\)。对于上面的例子来说，"abcdefghi" 和 "ihcdefgba" 是相等的。注意到 \(S\) 和它自己也是相等的。 你的任务很简单，数出互不相同的字符串的个数。 最终的答案可能会非常大，因此你只需要输出答案 $\mod 998244353 的结果。

输入格式

第一行包括三个整数 \(n\)，\(m\) 和 \(|A|（2 \leq n \leq 10^9，1 \leq m \leq min(\frac{n}{2},2 * 10^5)，1\leq |A|\leq 10^9）\)，分别是字符串的长度，序列 \(b\) 的大小，以及字符集 \(A\) 的大小。 第二行包括 \(m\) 个整数： \(b_1,b_2,\dots,b_m\)。

输出格式

输出一个整数，即答案 \(\mod 998244353\) 的结果。

样例输入

3 1 2
1

样例输出

6

解析

观察题目给我们的交换方法十分特殊，我们可以发现：对于任意\((b_i,b_{i+1}]\)，一定可以将其关于中点翻转。那么我们对每一个这样的区间来考虑。

对于一个长度为$ len$ 的区间，分两种情况讨论：一种是右边的是左边的反串，这种情况下无论如何都不会有相同的，方案为 \(|A|^{len}\) ；另一种则相反，一共有 \(|A|^{len}(|A|^{len}-1)\) 种情况，我们可以发现每一种都有对应的相同情况被包含，故方案数为 \(\frac{|A|^{len}(|A|^{len}-1)}{2}\) 。

注意 \(b_m\) 之后的一段区间是不能翻转的，故答案为 \(\prod \frac{|A|^{len}(|A|^{len}-1)}{2} \times |A|^{n-2b_m}\)。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long
#define N 200002
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m,a,i,b[N],ans=1;
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
int poww(int a,int b)
{
	int ans=1,base=a;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	n=read();m=read();a=read();
	for(i=1;i<=m;i++) b[i]=read();
	int inv=poww(2,mod-2);
	for(i=1;i<=m;i++){
		int l=b[i]-b[i-1];
		ans=ans*(poww(a,l)*((poww(a,l)-1+mod)%mod)%mod*inv%mod+poww(a,l))%mod;
	}
	ans=ans*poww(a,n-2*b[m])%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}