[洛谷P2523] HAOI2011 Problem c

问题描述

给 $n$ 个人安排座位，先给每个人一个 $1\thicksim n$ 的编号，设第 $i$ 个人的编号为 $a_i$（不同人的编号可以相同）。

接着从第一个人开始，大家依次入座，第 $i$ 个人来了以后尝试坐到 $a_i$，如果 $a_i$ 被占据了，就尝试 $a_i+1$，$a_i+1$ 也被占据了的话就尝试 $a_i+2$……，如果一直尝试到第 $n$ 个都不行，该安排方案就不合法。

然而有 $m$ 个人的编号已经确定（他们或许贿赂了你的上司...），你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案。

由于答案可能很大，只需输出其除以 $M$ 后的余数即可。

输入格式

第一行一个整数 $T$，表示数据组数。

对于每组数据，第一行有三个整数，分别表示 $n$、$m$、$M$。

若 $m$ 不为 $0$，则接下来一行有 $m$ 对整数，$p_1$、$q_1$，$p_2$、$q_2$，...，$p_m$、$q_m$，其中第 $i$ 对整数 $p_i$、$q_i$ 表示第 $p_i$ 个人的编号必须为 $q_i$。

输出格式

对于每组数据输出一行，若是有解则输出 YES，后跟一个整数表示方案数 $\bmod M$，注意，YES 和数之间只有一个空格，否则输出 NO。

样例输入

2
4 3 10
1 2 2 1 3 1
10 3 8882
7 9 2 9 5 10

样例输出

YES 4
NO

数据范围

$T\le 10,n,m\le 300$

解析

首先考虑无解的情况。设 $sum_i$ 表示有几个数钦定的位置在 $i$ 之后，如果存在 $sum_i>n-i+1$，那么就无解。接下来考虑DP。设 $f_{i,j}$ 表示有 $j$ 个数的编号在后 $i$ 个位置中，显然我们有如下转移方程：

$$f_{i,j}=\sum_{k=0}^jf_{i+1,j-k}\times {j\choose k}$$

转移条件为 $j\le n-sum_i-i+1$。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
#define N 302
using namespace std;
int t,n,m,mod,i,j,k,f[N][N],c[N][N],sum[N];
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
bool check()
{
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(sum[i]>n-i+1) return 0;
	}
	return 1;
}
signed main()
{
	t=read();
	while(t--){
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		n=read();m=read();mod=read();
		for(i=1;i<=m;i++){
			int p=read(),q=read();
			for(j=q;j>=1;j--) sum[j]++;
		}
		if(!check()){
			puts("NO");
			continue;
		}
		c[0][0]=1;
		for(i=1;i<=n;i++){
			c[i][0]=1;
			for(j=1;j<=n;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
		}
		f[n+1][0]=1;
		for(i=n;i>=1;i--){
			for(j=0;j<=n-m;j++){
				if(j<=n-sum[i]-i+1){
					for(k=0;k<=j;k++) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j-k]*c[j][k]%mod)%mod;
				}
			}
		}
		printf("YES %lld\n",f[1][n-m]);
	}
	return 0;
}