[洛谷P4366] 最短路

问题背景

在北纬 91° ，有一个神奇的国度，叫做企鹅国。这里的企鹅也有自己发达的文明，称为企鹅文明。因为企鹅只有黑白两种颜色，所以他们的数学也是以二进制为基础发展的。

比如早在 1110100111101001 年前，他们就有了异或这样一个数学概念。如果你不知道异或是什么，请出门过墙左转到这里。

再比如早在 10000101000010 年前，他们的大科学家 Penguin. Tu 就提出了图和最短路径这样一些概念。

问题描述

企鹅国中有 N 座城市，编号从 1 到 N 。

对于任意的两座城市 i 和 j ，企鹅们可以花费 \((i~\mathrm{xor}~j) \times C\) 的时间从城市 i 走到城市 j ，这里 C 为一个给定的常数。

当然除此之外还有 M 条单向的快捷通道，第 i 条快捷通道从第 \(F_i\) 个城市通向第 \(T_i\) 个城市，走这条通道需要消耗 \(V_i\) 的时间。

现在来自 Penguin Kingdom University 的企鹅豆豆正在考虑从城市 A 前往城市 B 最少需要多少时间？

输入格式

从标准输入读入数据。

输入第一行包含三个整数 N,M,C ，表示企鹅国城市的个数、快捷通道的个数以及题面中提到的给定的常数C。

接下来的 M 行，每行三个正整数 \(F_i,T_i,V_i (1 \leq F_i \leq N,1 \leq T_i \leq N ,1\leq V_i \leq 100)\)，分别表示对应通道的起点城市标号、终点城市标号和通过这条通道需要消耗的时间。

最后一行两个正整数 \(A,B (1 \leq C \leq 100)\)，表示企鹅豆豆选择的起点城市标号和终点城市标号。

输出格式

输出到标准输出。

输出一行一个整数，表示从城市 A 前往城市 B 需要的最少时间。

样例输入

4 2 1
1 3 1
2 4 4
1 4

样例输出

5

解析

直观的一个思路是把所有题目中涉及的边（包括两两之间的路线）连起来，然后跑最短路。但是这样边的数量是\(N^2\)级别的。我们需要考虑优化连边。

观察第二种边的性质。第二种边是由异或定义的，不妨考虑拆位，异或运算就是对于每一个二进制位来决定的。那么，对于一个运算\(a xor b\)，其等价于

\[a\ xor\ b=a\ xor\ 2^{k_1}\ xor\ 2^{k_2}\ xor\ ...\ xor\ 2^{k_m} \]

那么，由异或运算的性质，图上从\(a\)走到\(b\)，相当于从\(a\)走到\(a\ xor\ 2^{k_1}\)，再从\(a\ xor\ 2^{k_1}\)走到\(a\ xor\ 2^{k_1}\ xor\ 2^{k_2}\)，以此类推。这样，我们就这种类型的边的数量减少到了\(log\)级别。然后建图跑最短路即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#define N 100002
#define M 5000002
using namespace std;
int head[N],ver[M],nxt[M],edge[M],l;
int n,m,c,s,t,i,j,dis[N];
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
void insert(int x,int y,int z)
{
	l++;
	ver[l]=y;
	edge[l]=z;
	nxt[l]=head[x];
	head[x]=l;
}
void Dijkstra()
{
	priority_queue<pair<int,int> > q;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	q.push(make_pair(0,s));
	dis[s]=0;
	while(!q.empty()){
		int x=q.top().second,d=-q.top().first;
		q.pop();
		if(d!=dis[x]) continue;
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			int y=ver[i];
			if(dis[y]>dis[x]+edge[i]){
				dis[y]=dis[x]+edge[i];
				q.push(make_pair(-dis[y],y));
			}
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();c=read();
	for(i=1;i<=m;i++){
		int u=read(),v=read(),w=read();
		insert(u,v,w);
	}
	for(i=0;i<=n;i++){
		for(j=0;(1<<j)<=n;j++){
			if((i^(1<<j))>n) continue;
			insert(i,(i^(1<<j)),(1<<j)*c);
		}
	}
	s=read();t=read();
	Dijkstra();
	printf("%d\n",dis[t]);
	return 0;
}