[ARC098F] Donation

问题描述

给定一张 n个点，m条边的无向图。这张图的每个点有两个权值 ai,bi。你将会从这张图中选出一个点作为起点，随后开始遍历这张图。你能到达一个节点 i当且仅当你的手上有至少 ai 元钱。当你到达一个节点 i后，你可以选择对这个点捐赠bi 元。你需要对每个点捐赠一次。问你身上至少要带多少元钱？

输入格式

第一行两个数 n,m。

下 n 行，每行两个数 ai,bi。

下 m 行，每行两个数 ui,vi ，表示有一条从 ui到 vi 的边。

输出格式

输出一行一个整数，为答案。

样例输入

4 5
3 1
1 2
4 1
6 2
1 2
2 3
2 4
1 4
3 4

样例输出

6

解析

注意我们经过一个点的时候只需要花费一次，而且可以在任意时刻花费。那么显然的是我们对于每个重复经过的点，使其在最后一次经过时缴纳费用是最优的。

因此我们修改a的约束，建立数组c,使\(c[i]=max(a[i]-b[i],0)\)表示我们在任意时刻经过了i这个点，手中一定至少要拥有\(c_i\)的钱数。

我们可以贪心的想到先遍历\(c_i\)最大的点，那么删去这个点之后，我们就得到了若干个联通块。然后最优的方法明显是贡献了\(c_i\)之后进入了一个联通块之后就不再出来。

然后我们一层一层的递归，用子树的根去连上一层的根。这样我们就可以构造一棵所有子树的\(c_i\)都要小于根节点的树。

接下来可以直接DP，\(f[x]\)表示x的子树符合条件的最小初始钱数，\(s[x]\)表示x的子树的b值之和，即遍历完整棵子树在x所需的代价(不包括\(c[x]\))。\(f[x]\)初值为\(s[x]+c[x]\)表示最后在x点停下。然后枚举最后遍历的是哪棵子树，状态转移方程为

\[f[x]=min(f[x],s[x]-s[y]+max(f[y],c[x])) \]

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define int long long
#define N 100002
using namespace std;
int head[N],ver[N*2],nxt[N*2],l;
int head1[N],ver1[N*2],nxt1[N*2],l1;
int n,m,i,j,a[N],b[N],c[N],fa[N],p[N],f[N],sum[N];
bool vis[N];
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
void insert(int x,int y)
{
	l++;
	ver[l]=y;
	nxt[l]=head[x];
	head[x]=l;
}
void insert1(int x,int y)
{
	l1++;
	ver1[l1]=y;
	nxt1[l1]=head1[x];
	head1[x]=l1;
}
int my_comp(const int &x,const int &y)
{
	return c[x]<c[y];
}
int find(int x)
{
	if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
void dfs(int x)
{
	sum[x]=b[x];
	for(int i=head1[x];i;i=nxt1[i]){
		int y=ver1[i];
		dfs(y);
		sum[x]+=sum[y];
	}
	f[x]=sum[x]+c[x];
	for(int i=head1[x];i;i=nxt1[i]){
		int y=ver1[i];
		f[x]=min(f[x],sum[x]-sum[y]+max(f[y],c[x]));
	}
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();b[i]=read();
		c[i]=max(a[i]-b[i],1LL*0);
	}
	for(i=1;i<=m;i++){
		int u=read(),v=read();
		insert(u,v);
		insert(v,u);
	}
	for(i=1;i<=n;i++) fa[i]=p[i]=i;
	sort(p+1,p+n+1,my_comp);
	for(i=1;i<=n;i++){
		int x=p[i];
		vis[x]=1;
		for(j=head[x];j;j=nxt[j]){
			int y=ver[j];
			if(vis[y]){
				int f=find(y);
				if(f!=x){
					fa[f]=x;
					insert1(x,f);
				}
			}
		}
	}
	dfs(p[n]);
	cout<<f[p[n]]<<endl;
	return 0;
}