[BZOJ 4710] 分特产

问题描述

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。JYY 想知道，把这些特产分给N 个同学，一共有多少种不同的分法？当然，JYY 不希望任何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所以每个同学都必须至少分得一个特产。例如，JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子，分给A 和B 两位同学，那么共有4 种不同的分配方法：

A：麻花，B：麻花、包子

A：麻花、麻花，B：包子

A：包子，B：麻花、麻花

A：麻花、包子，B：麻花

输入格式

输入数据第一行是同学的数量N 和特产的数量M。

第二行包含M 个整数，表示每一种特产的数量。

N, M 不超过1000，每一种特产的数量不超过1000

输出格式

输出一行，不同分配方案的总数。由于输出结果可能非常巨大，你只需要输出最终结果

MOD 1,000,000,007 的数值就可以了。

样例输入

5 4
1 3 3 5

样例输出

384835

解析

假如不考虑每个人都有的情况，答案就是每种特产的分配方案数之积，用插板法可得方案为

\[\prod_{i=1}^{m}C_{a[i]+n-1}^{n-1} \]

但是若我们考虑不得有人为空，就需要减去有人为空的情况。首先减去有一个人为空的情况，然后加上重复计算的有两个人为空的情况，以此类推容斥即可。如何计算i个人为空的情况呢？可以强制让那i个人为空，即计算方案时只用n-i个人即可。最后也要乘上\(C_{n}^{i}\)即选i个人为空的方案。答案为

\[\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\prod_{j=1}^{m}C_{a[j]+n-i-1}^{n-i-1} \]

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 2002
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,m,a[N],i,j,ans=1,c[N][N],tot;
signed main()
{
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=m;i++) cin>>a[i];
	c[0][0]=1;
	for(i=1;i<N;i++){
		for(j=0;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
	}
	for(i=1;i<=m;i++) ans=ans*c[a[i]+n-1][n-1]%mod;
	for(i=1;i<=n;i++){
		int sum=1;
		for(j=1;j<=m;j++) sum=(sum*c[a[j]+n-i-1][n-i-1])%mod;
		sum=sum*c[n][i]%mod;
		if(i%2) ans=(ans-sum+mod)%mod;
		else ans=(ans+sum)%mod;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}