七夕祭

问题描述

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。于是 TYVJ 今年举办了一次线下七夕祭。Vani 同学今年成功邀请到了 cl 同学陪他来共度七夕,于是他们决定去 TYVJ 七夕祭游玩。
TYVJ 七夕祭和 11 区的夏祭的形式很像。矩形的祭典会场由 N 排 M 列共计 N×M 个摊点组成。虽然摊点种类繁多,不过 cl 只对其中的一部分摊点感兴趣,比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋......什么的。Vani 预先联系了七夕祭的负责人 zhq,希望能够通过恰当地布置会场,使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多,并且各列中 cl 感兴趣的摊点数也一样多。不过 zhq 告诉 Vani,摊点已经布置完毕了,唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。两个摊点相邻,当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。由于 zhq 率领的 TYVJ 开发小组成功地扭曲了空间,每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。现在Vani 想知道他的两个要求最多能满足多少个。在此前提下,至少需要交换多少次摊点。

输入格式

第一行包含三个整数 N 和 M 和 T。T 表示 cl 对多少个摊点感兴趣。
接下来 T 行,每行两个整数 x,y,表示 cl 对处在第 x 行第 y 列的摊点感兴趣。

输出格式

首先输出一个字符串。如果能满足 Vani 的全部两个要求,输出 both;如果通过调整 只能使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多,输出 row;如果只能使各列中 cl 感兴趣的摊点数一样多,输出 column;如果均不能满足,输出 impossible。
如果输出的字符串不是 impossible, 接下来输出最小交换次数,与字符串之间用一 个空格隔开。

输入输出样例

输入样例#1

2 3 4
1 3
2 1
2 2
2 3

输出样例#1

row 1

输入样例#2

3 3 3
1 3
2 2
2 3

输出样例#2

both 2

数据说明

对于 30% 的数据,N, M≤100。
对于 70% 的数据,N, M≤1000。
对于 100% 的数据,1≤N, M≤100000,0≤T≤min(NM, 100000),1≤x≤N,1≤y≤M。

解析

首先，我们能看出两点：

• 使每一行或每一列摊点一样多，当且仅当摊点数能被行数或列数整除。
• 行数量相等与列数量相等的操作互不影响。

既然这样，那么我们可以首先判断是否可以在行或列上满足要求，然后分开考虑。以行为例，现在我们有\(n\)行，设第\(i\)行有\(row[i]\)个摊点，那么目标就是使每一行都有\(t/n\) 个摊点(记为\(ave\))。设第\(i\)行给了第\(i-1\)行\(X_i\)个摊点(若\(X_i\)为负数，那么就代表从第\(i-1\)个向第\(i\)个移动)，那么总的答案\(ans\)就等于\(\sum_{i=1}^{n}{\vert{X_i}\vert}\)。对于第一行，原来有\(row[1]\)个，给了第\(n\)行\(X_1\)个，自己得到了\(X_2\)个，那么有如下关系：

\[row[1]-X_1+X_2=ave\Longrightarrow X_2=X_1+(ave-row[1]) \]

同理，其他的\(X\)也可以用\(X_1\)表示。由递推可得通项公式为：

\[X_i=X_1+i*ave-\sum_{p=1}^{i-1}row[p] \]

为方便表示，设\(C_i=\sum_{p=1}^{i-1}row[p]-ave*i\)，那么总答案可以表示为

\[ans=\sum_{i=1}^{n}{\vert{X_1-C_i}\vert} \]

考虑到绝对值的几何意义，答案可以看做是求数轴上的点\(C_i\)到定点\(X_1\)的距离之和的最小值。显然，当\(X_i\)位于序列\(C\)的中位数上时答案最小，统计答案即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100002
using namespace std;
long long n,m,t,i,row[N],col[N],c[N];
int main()
{
	freopen("tanabata.in","r",stdin);
	freopen("tanabata.out","w",stdout);
	cin>>n>>m>>t;
	for(i=1;i<=t;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		row[x]++;col[y]++;
	}
	if(t%n==0&&t%m==0) cout<<"both ";
	else if(t%n==0) cout<<"row ";
	else if(t%m==0) cout<<"column ";
	else{
		cout<<"impossible"<<endl;
		return 0;
	}
	long long ans=0;
	if(t%n==0){
		long long ave=t/n;
		for(i=2;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]+row[i]-ave;
		sort(c+1,c+n+1);
		int mid=c[(n+1)/2];
		for(i=1;i<=n;i++) ans+=abs(c[i]-mid);
	}
	if(t%m==0){
		long long ave=t/m;
		for(i=2;i<=m;i++) c[i]=c[i-1]+col[i]-ave;
		sort(c+1,c+m+1);
		int mid=c[(m+1)/2];
		for(i=1;i<=m;i++) ans+=abs(c[i]-mid);
	}
	cout<<ans<<endl;
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}