图论

图论

CF76A Gift

思路

因为有两个变量，所以先按照其中一个 $g$ 排序，就像图海说的两只鸟先拍死一个再说。

设生成树边集为 $T$ ，将排序后的边 $i$ 加入时， $g_{max}$ 已经确定，所以可以直接将 $i$ 暴力插入，然后排序求一次最小生成树，将无用的边删去。

时间复杂度 $O(nm\log n)$

优化

发现边集 $T$ 中的边已经按照 $s$ 升序排列，故直接暴力插入

时间复杂度 $D(nm)$

P4180 [BJWC2010] 严格次小生成树

先求出最小生成树，然后做一下倍增，维护最大值和严格次大值。

对于每一条非树边，将其加入图中，删去这条边的两端点到 $LCA$ 的边的最大边（若最大边边权与非树边相等则删去严格次大值，若没有严格次大值，则跳过此非树边）

最后对新树的边权和求一下最小值，即为所求。

时间复杂度 $O(m\log n)$

CF1076D Edge Deletion

前置：最短路径树

不妨直接从 $1$ 开始跑 $DJSL$ ，边跑边生成最短路径树，直到边数大于 $k$ 或者 $DJSL$ 跑完了 退出就可以了。

CF1108F MST Unification

在这里哦

CF1650G Counting Shortcuts

前置：分层图

呜呜呜，这个题的题干不知怎么了，看错了好多次，QWQ

我们将图按照距离分层，发现如果是最短的话，那么路径上只会有从 $i层->i+1层$ 的路径，而如果是次短的话，就回恰好有一条在同一层内的路径。

所以设 $dp_{i,0/1}$ 表示到 $i$ 的最短路径数量和次短路径数量

对于一条同层边 $(u,v)$ 有 $dp[v][1]+=dp[u][0]$

对于一条跨层边 $(u,v)$ 有 $dp[v][1]+=dp[u][1]，dp[v][0]+=dp[u][0]$

发现 $dp[v][1]$ 可能在需要被转移时还没有算完，于是先算同一层的 $dp[v][1]$ 再算跨层的 $dp[v][1],dp[v][0]$

CF1737D Ela and the Wiring Wizard

在这里哦

P2149 [SDOI2009] Elaxia的路线

正解还没看呢，唔，手上只有一个自己写的 $n^3$ 玄学算法A掉了这个题。

大概就是将两组最短路算出来，然后先将第一个人的最短路的边全部处理出来，处理出其中的每一个点到之前的点的距离。

对于第二组，也是先找一个最短路的边。对于一个点，处理出可以到达这个点的最短路上的点，然后看在第一个人处理出来的距离中有没有这两个点，然后取个最大值即可。

注意哦，以上都为单向边。

正解的话，先鸽了吧。

P1341 无序字母对

前置：欧拉路

巧了，这个前置我似乎不会，等我学学。

嗯，好了，可能会了，开始吧！

直接将两个字母连边，然后先判是否有欧拉路

判断方法：

1. 无向图欧拉路

   其中度数为奇数的点的数量不是 $0$ 就是 $2$ ，否则无解。

   如果为 $2$ 则这两点之一取小的作为起点

2. 有向图欧拉路

   图中恰好存在 $1$ 个点出度比入度多 $1$（这个点即为 起点 $S$），$1$ 个点入度比出度多 $1$（这个点即为 终点 $T$），其余节点出度=入度。

3. 有向图欧拉回路

   所有点的入度=出度

4. 无向图欧拉回路

   所有点的度数都是偶数

注意一下记录答案，必须要倒序，在这里有详解，再此感谢$dalao$$@huainan_marquis$

P8201 [传智杯 #4 决赛] 生活在树上（hard version）

思路

可以发现，如果在 $a,b$ 间的简单路径上有一个点的点权为 $dis_{a,b} ⨁ k$ ，则成立，反之则不存在这种点。

于是问题转化：问树上 $a,b$ 简单路径上是否有点的点权为 $C$

这是一个经典问题，对点权离散化，将询问离线到 $a,b,lca(a,b)$ 上，开个桶记录一下就可以了。

注意，如果 $lca(a,b)$ 的点权为 $C$ 的话，要特判一下。

CF427C Checkposts

大水题，只用记录一下每个环里面最小值和其对应的点的个数即可

所以一个 $tarjan$ 和乘法原理即可