基环树

基环树

一.前言

由于某人考试时，发现有基环树的题目，但不知道怎么写。

于是发挥奇思妙想，将环特意固定为非根节点，成功地，2.5小时（年） 没写出来。

于是痛定思痛，认真学习。

二.定义

基环树

有 $n$ 条边 $n$ 个点的连通图，可以被称为基环树。

其有无向图，有向图两种，其中有向图有特殊两种情况：外向图（仅有一条入边）以及内向图（仅有一条出边）。

1. 基环树

2. 外向基环树

   

3. 内向基环树

   

基环树森林

由基环树构成的森林，也满足只有 $n$ 个点 $n$ 条边。

基本做题思路

将环看作一个大节点，作为树根，将其按照一般树上问题去考虑。

然后再考虑环上的贡献

三.例题

P4381 [IOI2008] Island

基环树+单调队列DP+直径

坑点：

1. long long
2. 最长路径不过环上的情况
3. 一个环只有 $2$ 个点
4. 每个连通块只可以取一条路径

思路

1. 最长路径过环

   考虑单独的一颗基环树，将其的环作为树根，去找以环上某个点为根节点的子树最大深度 $dep_i$ 。

   套路： 将环破坏成链，并复制，求出 $dep_i+dis_{i,j}+dep_j$ 的最大值，若直接 $DP$ 则为 $O(n^2)$ 考虑 $DDQ$ （单调队列），将其优化为 $O(n)$

2. 最长路径不过环

   注：路径不过环，是指没有环上的边，而非没有环上的点

   对于每一个最大无环子树取其直径即可

然后就完了，嗷呜QWQ

信息学的尽头 (end)

题目描述

人们建立了 $n$ 组计算集群，并给了这些它们 $1$ 到 $n$ 的编号。这些计算集群之间有共 $n$ 条双向通信通道，将它们连接成一个连通的网络。每条双向通道都有一定的延迟。一族信息可以经过若干条首尾相接的通信通道被传递，产生的延迟为其经过的所有通道的延迟之和。

王五负责协调计算集群之间的通信。他需要对于每个计算集群，计算其向所有其它计算集群发送一族信息所需产生的最小延迟之和。如此艰巨的任务，他自然就分配给了亘古通今至高无上万年超级大码农——你。

输入格式

第一行一个整数 $n$。

接下来 $n$ 行每行三个正整数 $u,v,w$，表示 $u$ 号计算集群与 $v$ 号计算集群间有一条延迟为 $w$ 个单位的通信通道。

输出格式

一行 $n$ 个整数，第 $i$ 个数表示 $i$ 号计算集群的答案。

样例

输入样例 #1

3
1 2 3
2 3 2
1 3 1

输出样例 #1

4 5 3

输入样例 #2

4
1 2 3
2 3 2
3 4 1
4 1 4

输出样例 #2

12 8 8 8

数据范围及约定

对于 $30\%$ 的数据：$3 \le n \le 200$；

对于 $60\%$ 的数据：$3 \le n \le 2000$；

对于 $100\%$ 的数据：$3 \le n \le 200000$，$1 \le w \le 1000$，$1 \le u,v \le n$。保证两两计算集群之间被通信通道连通，保证两计算集群间不会有多条通信通道，保证不存在通信通道的起点终点相同。

思路

换根DP+基环树+双指针

1. 首先以环为根，求得以环上节点为根的子树，走到环上的延迟。
2. 其次求得环上节点的答案，破环为链复制一遍，考虑一个双指针 $l,r$ 使得 $[l,r]$ 之间的所有节点都为顺时针到达节点 $l$ 其余为逆时针，由此来 $O(n)$ 算贡献即可。
3. 然后换根DP，考虑一个节点 $u$ 与其父亲节点 $v$ ，假设其父亲节点已经求出了题目所求，易得 $dp[u]=dp[v]-(n-2*siz[u])*dis_{u,v}$ 因为只用考虑他们相连的边所产生的贡献即可。

P1399 [NOI2013] 快餐店

思路

这个题的问题转化为，将环上一点删去，使得树的直径最小。答案就是 $直径/2.0$ 。

同之前，我们考虑直径不在环上的情况，得到最大直径 $ans_1$ ，并将每个子树的最大深度 $dep$ 算出来。

关键： $O(n)$ 求得直径最小值

我们破环为链，设得到的链为 $\{a_1,a_2,a_3,....,a_{top} \}$

这里相当于将 $a_1$ 与 $a_{top}$ 断开，所以记 $L=dis{a_1,a_{top}}$

令 $A[i]$ 表示从第一个点向后到达 $a_i$ 经过的点中（包括 $a_i$ ）$\max(dis_{a_1,a_j}+dep_{a_j})$

令 $B[i]$ 表示从第 $top$ 个点向前到达 $a_i$ 经过的点中（包括 $a_i$ ）$\max(dis_{a_{top},a_j}+dep_{a_j})$

令 $C[i]$ 表示在 $[a_1,a_i]$ 这几个点及其子树单独抽出来所构成的树的直径的最大值（不考虑子树直径，即强制直径过环）

令 $D[i]$ 表示在 $[a_i,a_{top}]$ 这几个点及其子树单独抽出来所构成的树的直径的最大值（不考虑子树直径，即强制直径过环）

所以 $ans_2=\min(\max(C[i],C[i+1]),A[i]+B[i+1]+L)$

所以 $\max(ans_1,ans_2)/2.0$ 即为所求。

这个转移方程的意思是：

此时，将 $a_i,a_{i+1}$ 这条边断开，求得的直径为多少。这里，贡献有三个部分构成：

1. 在 $a_i$ 到 $a_1$ 中出现直径
2. 在 $a_{i+1}$ 到 $a_{top}$ 中出现直径
3. 直径经过 $a_1,a_{top}$ 这条边

后记

呜呜呜，写了三节晚自习都没写出来，嗷呜

细节众多

CF835F Roads in the Kingdom

同上，但是，注意数据中出现的只有一个环的情况，可能会出错，建议特判。

P2607 [ZJOI2008] 骑士

P6486 [COCI2010-2011#4] DUGOVI