数学总结

数学总结

抽屉原理

基本解释：

1. 有 $n+m$ 个物品分成 $n$ 组，至少有 $n$ 个组有两个物体
2. 把多余 $n\times m +1$ 个物体放入 $n$ 个抽屉里，至少有一个抽屉有不少于 $m+1$ 个物体
3. 把无数还多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无数个物体。

第二抽屉原理

把 $nm-1$ 个物体放入 $n$ 个抽屉里，其中必有一个抽屉至多有 $m-1$ 个物体

例题

P7738 [NOI2021] 量子通信

由于 $k<16$ 且 $16^2=256$ ，故我们将原 $01$ 串分为 $16$ 块

又抽屉原理（鸽巢原理），字典与信息串中至少有 $1$ 个段相等。

所以我们将在满足在第 $i$ 个块相等的串用前向星连接起来。

同时，我们也可以将 $16$ 位 $01$ 串有多少个 $1$ 给处理出来

我们每次比较的步骤：

1. 将信息串化为 $01$ 串，分成 $16$ 块
2. 对于每一块，我们将在前向星中存起来序列与之比较
3. 直到比较出一个在字典中的串符合要求，退出。

时间复杂度： $O(16*16*m*x)$

$x$ 代表前向星中所存的串的期望个数

由题可知，字典是完全随机的，所以对于每一种 $x$，其大概存了 $\frac {n}{2^{16}}=7$ 个串

所以时间复杂度为 $2e8$

赛瓦维斯特定理

基本解释

已知 $a,b$ 为大于 $1$ 的正整数， $(a,b)=1$ ，则使不定方程 $ax+by=C$ 无负数解的最大整数 $C=ab-a-b$

裴蜀定理

基本解释：

使得方程 $ax+by=1$ 有解的充要条件为 $(a,b)=1$

推论：

1. 使得方程 $ax+by=c$ 有整数解分条件为 $\gcd(a,b)|c$
2. 方程 $ax+by=c$ 有解 $(x,y)$ 则 $(\frac{c}{\gcd(a,b)}x,\frac{c}{\gcd(a,b)}y)$ 也一定是解
3. 方程 $ax+by=c$ 的解为 $(x,y)$ 则 $(x+k\frac{b}{\gcd(a,b)},y-k\frac{b}{\gcd(a,b)}),k\in Z$ 也是一组解

欧拉函数

基本解释：

$\phi(n)$ 表示在 $[1,n]$ 中与 $n$ 互质的数的个数

$\phi(x)=x*\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{prime_i})$

特别的 $\phi(1)=1$

性质

1. 积性函数

   $\gcd(a,b)=1,\phi(a*b)=\phi(a)\phi(b)$

2. $a|b,\phi(b*a)=a*\phi(b)$

3. $\gcd(2,n)!=1 ,\phi(2*n)=\phi(n)$

4. $\sum_{p|n} \phi(p)=n$

求法

1. $O(\sqrt n)$
2. 线筛 $O(n)$ 求

中国剩余定理

$$f(x)=\begin{cases}x \equiv a_1\pmod{m_1}\\x \equiv a_2\pmod{m_2}\\.\\.\\.\\x \equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}其中：m_1,m_2,m_3...,m_n 互质。$$

且 $M=\prod\limits_{i=1}^{n}m_i,M_i=\frac{M}{m_i},t_i=M_i^{-1}$，$t_i$ 是在模 $m_i$ 意义下的乘法逆元

则有解 $x=(\sum\limits_{i=1}^{n}a_it_iM_i) +kM,k\in Z$ ，最小解 $=(\sum\limits_{i=1}^{n}a_it_iM_i)\% M$

逆元

定义：

在模 $m$ 的意义下，使得 $x*y\equiv 1 \pmod{m}$

则 $y$ 为 $x$ 的逆元，记为 $x^{-1}$

求法

1. 欧拉定理

   $\gcd(a,n)=1,a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod{n}$

2. 费马小定理

   $\gcd(a,p)=1且p为质数,则 a*a^{p-2}\equiv \pmod{p}$

3. 拓展欧拉定理

   $$a^{n}\equiv \begin{cases} \notag a^n~~~~(n<\phi(p))\\ a^{n ~\bmod \phi(p)+\phi(p)}~~~~(n>=\phi(p)) \end{cases} \pmod{p}$$

4. 线性求逆

   结论：$i^{-1}=(p-p/i)*(p\% i)^{-1}\% p$ ，其中 $p$ 为模数，$p>i$

5. 离线求逆

   我们求 $a_1,a_2,..,a_n$ 在模 $p$ 下的逆元

   不妨设 $M=\prod _{i=1}^{n} a_i$ ，求出 $M^{-1}$

   从后往前 $a_i=M_{i}^{-1}*M_{i-1},M_{i-1}^{-1}=M_{i}^{-1}*a_i$

卡特兰数

递推式：

1. $C(n)=C(0)C(n-1)+C(1)C(n-2)+..+C(n-1)C(1)$
2. $(n-3)C_n=\frac{n}2(C_3C_{n-1}+C_4C_{n-2}+..+C_{n-1}C_{3})$
3. $h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)$

表达式：

1. $C_n=\frac{\dbinom{n}{2n}}{n+1}=\dbinom{n}{2n}-\dbinom{n-1}{2n}$
2. 特别的 $C_1=C_0=1$

用途：

1. 出栈入栈的顺序个数

   设有 $n$ 个数时，方案数为 $f(n)$

   则有 $f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+..+f(0)f(n-1)$

   特别的 $f(1)=f(0)=1$

2. 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。

   设 $f(n)$ 代表边数，则有 $f(n)=f(0)*f(n)+f(1)*f(n-1)+...+f(n)f(n)$

   特别的 $f(3)=f(2)=1$ ，则易得 $f(n)=C(n-2)$

3. 给定N个节点，能构成 $C_n$ 种不同的二叉搜索树。

4. 有 $n$ 对括号，其正确排列的个数为 $C_n$

P3200 [HNOI2009]有趣的数列

题意简述

一个数列，满足 $a_{2i}<a_{2(i+1)},a_{2i-1}<a_{2(i+1)-1},a_{2i-1}<a_{2i}$

由此可得：

对于每一个偶数位 $2i$ 都满足其大于之前的所有数，并且 $a_{2i}>=2i$

所以转化题意：将 $2*n$ 个数，以此填入最左边的奇数位或者偶数位。

可以证明，当我们加入一个数 $j$ 后，要保证在奇数位上的数字的个数不少于在偶数位上的。

证明：
我们假设已经填了 $2a$ 个数，奇数位偶数位各 $a$ 个，此时下一个数为 $2a+1$ ，下一个偶数位的最小要求为 $2(a+1)$ ，此时无论如何第 $2a+1$ 个数都不可以填入偶数位中，只可以填入奇数位。

所以此时就变成了卡特兰数的推到过程，设在偶数位加数为 $-1$ ，奇数位加数为 $1$ ，求保证随时前缀和和为非负数的方案有多少种。

自然为 $\frac{\C(2n,n)}{n+1}$

注意模数不一定为质数，所以以使用唯一分解定理约分。

高斯消元

例题

P2447 [SDOI2010] 外星千足虫

其实和一般的高斯消元差不多，但是由于只考虑其自己的奇偶性，所以将加减改为取亦或就可以了

矩阵

目前看到的大多为和图论结合题目

例题

P6190 [NOI Online #1 入门组] 魔法

用弗洛伊德+矩阵加速

可以看到，当我们算出使用了一次魔法的邻接矩阵的 $n$ 次方

即可算出使用了 $n$ 次魔法的邻接矩阵

期望

一般和其他的数论一起考