KMP

定义

若要在 abcbdbddd中寻找cdb则有

模式串 $S$ ：cdb

目标串 $T$ ：abcbdbddd

$i$ 为目标串指针（i=1开始）

$j$ 为模式串指针（j=1开始）

BF（暴力算法）

BF算法是一个普通的暴力匹配算法，其算法思想是先将目标串的第一位与模式串的第一位先进行匹配。若成功，则将匹配模式串与目标串的第二位，若不相等，则将匹配目标串的第二位与模式串的第一位。

模拟一下：

目标串：abeabeabas

模式串：abeabas

\begin{aligned} (1) & 第 一 次 \\ (2) & a b e a b e a b a s \\ (3) & a b e a b a s \end{aligned}

$\begin{align}&第一次\\ &{\color{Red}a}beabeabas\\ &{\color{Red}a}beabas\\ \end{align}$

\begin{aligned} (4) & 第 二 次 \\ (5) & a b b e a b e a b a s \\ (6) & a b e a b a s \end{aligned}

$\begin{align}&第二次\\ &a{\color{Red}b}beabeabas\\ &a{\color{Red}b}eabas\\ \end{align}$

\begin{aligned} (7) & 第 三 次 \\ (8) & a b e a b e a b a s \\ (9) & a b e a b a s \end{aligned}

$\begin{align}&第三次\\ &ab{\color{Red}e}abeabas\\ &ab{\color{Red}e}abas\\ \end{align}$

\begin{aligned} (10) & 第 四 次 \\ (11) & a b e a b e a b a s \\ (12) & a b e a b a s \end{aligned}

$\begin{align}&第四次\\ &abe{\color{Red}a}beabas\\ &abe{\color{Red}a}bas\\ \end{align}$

\begin{aligned} (13) & 第 六 次 （ 中 间 跳 了 几 次 ） \\ (14) & a b e a b e a b a s \\ (15) & a b e a b a s \\ (16) & 失 败 匹 配 \end{aligned}

$\begin{align}&第六次（中间跳了几次）\\ &abeab{\color{Red}e}abas\\ &abeab{\color{Red}a}s\\ &失败匹配 \end{align}$

\begin{aligned} (17) & 第 七 次 \\ (18) & a b e a b e a b a s \\ (19) & a b e a b a s \end{aligned}

$\begin{align} &第七次\\ &a{\color{Red}b}eabeabas\\ &{\color{Red}a}beabas \end{align}$

但是睿智的你肯定已经发现了，当我们在匹配失败时，没有必要将 $i$ 又重新回到 $1$ ，完全可以将 $j=3$ 与其继续比较，这是因为 $j=6$ 时， $S[1,2]=S[4,5]$ ，反正到此时已经保证 $T$ 串的 $1$ ~ $j-1$ 已经匹配。

由此我们在这里引入 $border$

border

定义：指的是字符串 $T$ ，在第 $i$ 位时， $T[1,i]$ 中最长的前缀与后缀相同的长度（不包括串本身）。

举例：有 $T=aba$ ，则有 $border[1]=0,border[2]=0,border[3]=1$

根据定义可以得到当 $S$ 与 $T$ 匹配时，在第 $S[i],T[j]$ 匹配失效时， $j$ 可以回到 $border[j-1]+1(j~!=1)$ 继续比较。

举个例子：

S = a b a b a b a b e T = a b a b e 当 i = 5, j = 5 时 匹 配 失 败 则 可 以 保 持 i 不 变 ， j = b o r d e r [j - 1] + 1 = 3 以 继 续 匹 配

$S=ababababe\\ T=ababe\\ 当i=5,j=5时匹配失败\\ 则可以保持i不变，j=border[j-1]+1=3以继续匹配$

但是若 $border[j-1]+1=1$ 则应当将 $i++$ 以继续比较

接下来便有一个问题，怎么快速求出 $border$ ？

可以观察，假设我们已经求出了 $border[1-i]$ ，要求 $border[i+1]$ ，怎么办？

显然我们可以令 $j=border[i]$

若 $S[j+1]=S[i+1]$ 则 $border[i+1]=j+1$

反之，则继续上面的步骤，直到有成功的，或者 $j=0$ （无满足的前缀与后缀）

并且显然有 $border[1]=0$

所以有以下代码：

char S[maxn];
int border[maxn];
inline void getborder(){
    int j=0;
    border[1]=0;
    for(int i=2;i<=ls;i++){
        while(j&&S[i]!=S[j+1]) j=border[j];
        if(S[i]==S[j+1]) j++;
        border[i]=j;
    }
}

KMP（看毛片）

算法流程：

先计算出 $border$ ，当然在其他题解里面可能是 $next$

再依次匹配 $S,T$

每次匹配时， $j$ 表示 $S$ 匹配位的上一位， $i$ 表示 $T$ 匹配位的下标。

那么当S[j+1]!=T[i]&&j!=0时，一直取 $j=border[j]$

若有 $S[j+1]==T[i]$ ，则 $j++,i++$

反之只有 $i++$

CODE

    j=0;
    for(int i=1;i<=la;i++){
        while(j&&a[i]!=b[j+1]) j=p[j];
        if(a[i]==b[j+1]) j++;
        if(j==lb) write(i-lb+1),j=p[j];
    }