数论函数初步

数论函数初步

数论函数

数论函数&狄利克雷卷积

1. 定义：在全体（正）整数上定义的函数为数论函数

2. 积性定义：
   完全积性：$f(ab)=f(a)f(b)$

   积性：若$\gcd(a,b)=1$，则$f(ab)=f(a)f(b)$

   规律：如果$f(x),g(x)$ 为积性函数，则一下函数也有积性：

   $(f(x))^{-1},f(x)g(x),f(g(x)),f*g$

3. 积性函数举例：

   $$1(x)=1\\ Id(x)=x\\ \phi(x)\\ I(x)=[x==1]\\ $$

4. 狄利克雷卷积

   定义数论函数$f(n),g(n)$的狄利克雷卷积为$h(n)$：

   $$h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

   记$h=f*g$

   定理：两个积性函数的卷积为积性函数。

   证明：

   $$h(xy)=\sum\limits_{d|xy}f(d)g(\frac{xy}{d})=\sum\limits_{d_1|x}\sum\limits_{d_2|y}f(d_1d_2)g(\frac{xy}{d_1d_2})\\=\sum\limits_{d_1|x}\sum\limits_{d_2|y}f(d_1)f(d_2)g(\frac{x}{d1})g(\frac{y}{d_2})=\\\sum\limits_{d_1|x}f(d_1)g(\frac{x}{d1})\sum\limits_{d_2|y}f(d_2)g(\frac{y}{d2})\\=h(x)h(y)$$

   定理：两个积性函数对应位置相乘也是积性函数

   由此，我们便可以定义更多数论函数，以卷积描述其之间的关系：

   $$d(n)=\sum\limits_{d|n}，即d=1*1\\ Id(n)=n=\sum\limits_{d|n}，即Id=\phi*1$$

   狄利克雷卷积性质：

   1. 交换律：设两个函数$f(n),g(n)$，有 $f*g=g*f$

   2. 结合律：设三个积性函数$f,g,h$，有$(f*g)*h=f*(g*h)$

   3. $I$是单位元：对于任意数论函数$f$，$f*I=I*f=f$

      证明：$f*I=\sum\limits_{d|n}f(d)I(\frac{n}{d})=f$

   4. 定义：狄利克雷逆

      若有$f*g=I$ ，则数论函数$f,g$互为彼此的狄利克雷逆。

常见数论函数

单位函数： $I(x)=[x==1]$

幂函数：$id_k(n)=n^k,id(n)=n$

欧拉函数：$\phi(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}[gcd(x,n)==1]=n\times \prod\limits_{d|n}(1-\frac{1}{d})$

莫比乌斯函数：$\mu$

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

定义

定义莫比乌斯函数$\mu(x)$

当$x=1$时，$\mu(x)=1$

当$x$ 是 $square-free~number$ （无平方因数）时，设其质因数分解有$k$项，$\mu(x)=(-1)^k$

否则，$\mu(x)=0$

可以证得$\mu(x)$为不完全积性函数：

若$\gcd(x,y)=1$，显然有$\mu(xy)=\mu(x)\mu(y)$

定理

$I=\mu*1$，即$\mu$与$1$彼此互逆

证明：

当$x=1$时，显然$I=\mu*1$

当$x$为$square-free~number$时，显然$I=\mu*1$

当$x$不为$square-free~number$时，设$x=p_1p_2....p_k$：

$$\mu*1=\sum\limits_{d|x}^{}\mu(d)=\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{k个里面选i个的乘积c}\mu(c)\\ =\sum\limits_{i=1}^{k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(-1)^i=(1-1)^k=[k==0]=I(x)$$

$$其中\\ \sum\limits_{i=1}^{k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(-1)^i=(1-1)^k\\ 使用了二项式定理\\ (x+y)^k=\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}x^{k-i}y^i$$

莫比乌斯变换&反演

变换：设数论函数$f$，称$F=f*1$ 为莫比乌斯变换

反演：设数论函数$F$，称$f=F*\mu$为莫比乌斯反演

线性筛

埃氏筛法

$O(n\log\log n)$

bool no[maxn];
int prime[maxn],tot;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(no[i]) continue;
    prime[++tot]=i;
    for(int e=i+i;e<=n;e+=i) no[e]=1;
}

线性筛

$O(n)$

保证每个数只被其最小质因子筛去

bool no[maxn];
int prime[maxn],top;
for(int i=2;i<=n;i++){
   if(!no[i]) prime[++tot]=i;
    for(int e=1;e<=top&&prime[e]*i<=n;i++){
        no[prime[e]*i]=1;
        if(i%prime[e]==0) break;
	}
}

线性筛的用处

筛出某些积性函数在$1$~$n$的所有取值

基本思路：

在第二个循环时，若i%prime[e]!=0，则易得$f(i*prime[e])=f(i)f(prime[e])$

若i%prime[e]==0，设$prime[e]$在$i$中的指数为$k$，易得$f(i*prime[e])=\frac{f(prime[e]^{k+1})}{f(prime[e]^k)}f(i)$。

当然，要注意$f(prime[e]^k)!=0$，如果等于$0$，也可以这样$f(i*prime[e])=f(\frac{i}{prime[e]^k})f(prime[e]^{k+1})$

例一

有一数论函数：

$f(1)=1$

$f(P^k)=P$^$k$ （P代表质数）

$f(xy)=f(x)f(y),gcd(x,y)=1$

求出$f(n)$

这个直接动用一下上面的思路即可

例二——线筛欧拉函数

首先欧拉函数有以下性质

1. $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y),gcd(x,y)=1$
2. $p|x,\phi(p\times x)=p\times \phi(x)$ $\to$ $\frac{\phi(k^{a+1})}{\phi(k^a)}=k$
3. $\phi(prime)=prime-1$

CODE

int prime[maxn],top,phi[maxn];
bool no[maxn];
inline void oula(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!no[i]) prime[++top]=1,phi[i]=i-1;
        for(int e=1;e<=top&&prime[e]*i<=n;e++){
			no[prime[e]*i]=1;
            if(i%prime[e]==0){
                phi[i*prime[e]]=phi[e]*phi[i];
            	break;
            }
            phi[i*prime[e]]=phi[i]*phi[prime[e]];
        }
    }
}

例三——线筛莫比乌斯函数

1. 积性
2. 函数定义
3. $\frac{\mu(k^{a+1})}{\mu(k^a)}=0$

CODE

int prime[maxn],top,mu[maxn];
bool no[maxn];
inline void oula(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!no[i]) prime[++top]=1,mu[i]=-1;
        for(int e=1;e<=top&&prime[e]*i<=n;e++){
			no[prime[e]*i]=1;
            if(i%prime[e]==0){
                mu[i*prime[e]]=0;//因子有平方数
            	break;
            }
            mu[i*prime[e]]=mu[i]*mu[prime[e]];
        }
    }
}

例四——求出约数个数

在$O(n)$时间内求出函数$\tau$在$1$~$n$的所有取值

注：$\tau(n) $指$n$的因数个数

这里可以发现：

1. $\gcd(a,b)=1,\tau(ab)=\tau(a)\tau(b)$
2. $\tau(prime)=2$
3. $x=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}....p_n^{k_n},\tau(x)=(k_1+1)(k_2+1)...(k_n+1)$

CDOE

for(int i = 2; i <= n; i++){
	if(isp[i] == 0) {pr[++cnt] = i; tau[i] = 2; g[i] = 2;}
		for(int j = 1; j <= cnt && pr[j] * i <= n; j++){
		isp[i * pr[j]] = 1;
		if(i % pr[j] == 0) {
			tau[i * pr[j]] = (g[i] + 1) * tau[i] / g[i];
			g[i * pr[j]] = g[i] + 1;
			break;
		}
		tau[i * pr[j]] = tau[i] * 2;
		g[i * pr[j]] = 2;
	}
}

整数分块

例——求$\sum\limits_{i=1}^{i=n}\llcorner \frac{n}{i}\lrcorner$

这个东东只有$\sqrt n$ 种取值，直接分块计算即可

练习

一

数论函数

数论函数&狄利克雷卷积

1. 定义：在全体（正）整数上定义的函数为数论函数

2. 积性定义：
   完全积性：$f(ab)=f(a)f(b)$

   积性：若$\gcd(a,b)=1$，则$f(ab)=f(a)f(b)$

   规律：如果$f(x),g(x)$ 为积性函数，则一下函数也有积性：

   $(f(x))^{-1},f(x)g(x),f(g(x)),f*g$

3. 积性函数举例：

   $$1(x)=1\\ Id(x)=x\\ \phi(x)\\ I(x)=[x==1]\\ $$

4. 狄利克雷卷积

   定义数论函数$f(n),g(n)$的狄利克雷卷积为$h(n)$：

   $$h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

   记$h=f*g$

   定理：两个积性函数的卷积为积性函数。

   证明：

   $$h(xy)=\sum\limits_{d|xy}f(d)g(\frac{xy}{d})=\sum\limits_{d_1|x}\sum\limits_{d_2|y}f(d_1d_2)g(\frac{xy}{d_1d_2})\\=\sum\limits_{d_1|x}\sum\limits_{d_2|y}f(d_1)f(d_2)g(\frac{x}{d1})g(\frac{y}{d_2})=\\\sum\limits_{d_1|x}f(d_1)g(\frac{x}{d1})\sum\limits_{d_2|y}f(d_2)g(\frac{y}{d2})\\=h(x)h(y)$$

   定理：两个积性函数对应位置相乘也是积性函数

   由此，我们便可以定义更多数论函数，以卷积描述其之间的关系：

   $$d(n)=\sum\limits_{d|n}，即d=1*1\\ Id(n)=n=\sum\limits_{d|n}，即Id=\phi*1$$

   狄利克雷卷积性质：

   1. 交换律：设两个函数$f(n),g(n)$，有 $f*g=g*f$

   2. 结合律：设三个积性函数$f,g,h$，有$(f*g)*h=f*(g*h)$

   3. $I$是单位元：对于任意数论函数$f$，$f*I=I*f=f$

      证明：$f*I=\sum\limits_{d|n}f(d)I(\frac{n}{d})=f$

   4. 定义：狄利克雷逆

      若有$f*g=I$ ，则数论函数$f,g$互为彼此的狄利克雷逆。

常见数论函数

单位函数： $I(x)=[x==1]$

幂函数：$id_k(n)=n^k,id(n)=n$

欧拉函数：$\phi(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}[gcd(x,n)==1]=n\times \prod\limits_{d|n}(1-\frac{1}{d})$

莫比乌斯函数：$\mu$

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

定义

定义莫比乌斯函数$\mu(x)$

当$x=1$时，$\mu(x)=1$

当$x$ 是 $square-free~number$ （无平方因数）时，设其质因数分解有$k$项，$\mu(x)=(-1)^k$

否则，$\mu(x)=0$

可以证得$\mu(x)$为不完全积性函数：

若$\gcd(x,y)=1$，显然有$\mu(xy)=\mu(x)\mu(y)$

定理

$I=\mu*1$，即$\mu$与$1$彼此互逆

证明：

当$x=1$时，显然$I=\mu*1$

当$x$为$square-free~number$时，显然$I=\mu*1$

当$x$不为$square-free~number$时，设$x=p_1p_2....p_k$：

$$\mu*1=\sum\limits_{d|x}^{}\mu(d)=\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{k个里面选i个的乘积c}\mu(c)\\ =\sum\limits_{i=1}^{k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(-1)^i=(1-1)^k=[k==0]=I(x)$$

$$其中\\ \sum\limits_{i=1}^{k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(-1)^i=(1-1)^k\\ 使用了二项式定理\\ (x+y)^k=\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}x^{k-i}y^i$$

莫比乌斯变换&反演

变换：设数论函数$f$，称$F=f*1$ 为莫比乌斯变换

反演：设数论函数$F$，称$f=F*\mu$为莫比乌斯反演

线性筛

埃氏筛法

$O(n\log\log n)$

bool no[maxn];
int prime[maxn],tot;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(no[i]) continue;
    prime[++tot]=i;
    for(int e=i+i;e<=n;e+=i) no[e]=1;
}

线性筛

$O(n)$

保证每个数只被其最小质因子筛去

bool no[maxn];
int prime[maxn],top;
for(int i=2;i<=n;i++){
   if(!no[i]) prime[++tot]=i;
    for(int e=1;e<=top&&prime[e]*i<=n;i++){
        no[prime[e]*i]=1;
        if(i%prime[e]==0) break;
	}
}

线性筛的用处

筛出某些积性函数在$1$~$n$的所有取值

基本思路：

在第二个循环时，若i%prime[e]!=0，则易得$f(i*prime[e])=f(i)f(prime[e])$

若i%prime[e]==0，设$prime[e]$在$i$中的指数为$k$，易得$f(i*prime[e])=\frac{f(prime[e]^{k+1})}{f(prime[e]^k)}f(i)$。

当然，要注意$f(prime[e]^k)!=0$，如果等于$0$，也可以这样$f(i*prime[e])=f(\frac{i}{prime[e]^k})f(prime[e]^{k+1})$

例一

有一数论函数：

$f(1)=1$

$f(P^k)=P$^$k$ （P代表质数）

$f(xy)=f(x)f(y),gcd(x,y)=1$

求出$f(n)$

这个直接动用一下上面的思路即可

例二——线筛欧拉函数

首先欧拉函数有以下性质

1. $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y),gcd(x,y)=1$
2. $p|x,\phi(p\times x)=p\times \phi(x)$ $\to$ $\frac{\phi(k^{a+1})}{\phi(k^a)}=k$
3. $\phi(prime)=prime-1$

CODE

int prime[maxn],top,phi[maxn];
bool no[maxn];
inline void oula(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!no[i]) prime[++top]=1,phi[i]=i-1;
        for(int e=1;e<=top&&prime[e]*i<=n;e++){
			no[prime[e]*i]=1;
            if(i%prime[e]==0){
                phi[i*prime[e]]=phi[e]*phi[i];
            	break;
            }
            phi[i*prime[e]]=phi[i]*phi[prime[e]];
        }
    }
}

例三——线筛莫比乌斯函数

1. 积性
2. 函数定义
3. $\frac{\mu(k^{a+1})}{\mu(k^a)}=0$

CODE

int prime[maxn],top,mu[maxn];
bool no[maxn];
inline void oula(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!no[i]) prime[++top]=1,mu[i]=-1;
        for(int e=1;e<=top&&prime[e]*i<=n;e++){
			no[prime[e]*i]=1;
            if(i%prime[e]==0){
                mu[i*prime[e]]=0;//因子有平方数
            	break;
            }
            mu[i*prime[e]]=mu[i]*mu[prime[e]];
        }
    }
}

例四——求出约数个数

在$O(n)$时间内求出函数$\tau$在$1$~$n$的所有取值

注：$\tau(n) $指$n$的因数个数

这里可以发现：

1. $\gcd(a,b)=1,\tau(ab)=\tau(a)\tau(b)$
2. $\tau(prime)=2$
3. $x=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}....p_n^{k_n},\tau(x)=(k_1+1)(k_2+1)...(k_n+1)$

CDOE

for(int i = 2; i <= n; i++){
	if(isp[i] == 0) {pr[++cnt] = i; tau[i] = 2; g[i] = 2;}
		for(int j = 1; j <= cnt && pr[j] * i <= n; j++){
		isp[i * pr[j]] = 1;
		if(i % pr[j] == 0) {
			tau[i * pr[j]] = (g[i] + 1) * tau[i] / g[i];
			g[i * pr[j]] = g[i] + 1;
			break;
		}
		tau[i * pr[j]] = tau[i] * 2;
		g[i * pr[j]] = 2;
	}
}

整数分块

例——求$\sum\limits_{i=1}^{i=n}\llcorner \frac{n}{i}\lrcorner$

这个东东只有$\sqrt n$ 种取值，直接分块计算即可

练习

一