数论杂项

数论杂项

一.排列组合

1. 排列的定义：从$n$个不同元素中，任取$m(m≤n,m与n均为自然数,下同)$个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列；从n个不同元素中取出$m(m≤n)$个元素的所有排列的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数，用符号 $ A(n,m) $或$A_n^m$

   $$\notag A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

2. 组合的定义：从$n$个不同元素中，任取$m(m≤n)$个元素并成一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合；从$n$个不同元素中取出$m(m≤n)$个元素的所有组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数。用符号 $C(n,m)$ 或 $C_n^m$ 表示。

   $$\notag C_n^m=\frac{A^m_n}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=C(n,n-m)$$

二.杨辉三角形

1. 第$n$行有$n$个数。

2. 每行奇数个数必为$2^k$（$k$不是行数）

3. 当行数恰为$2^k$时，奇数个数为$2^k$个，无偶数。

4. 当行数恰为$2^k$时，其前$2^k$行有$3^{(k-1)}$个奇数。

5. 前$n$行奇数个数（$p$）：

   $$\notag n=2^{k1}\times 2^{k2}\times 2^{k3}....\times 2^{kn}\\ p=1\times 3^{kn}+2\times 3^{kn-1}+2^2\times 3^{kn-2}+....+2^{n-1}\times 2^{k1}$$

6. 前$n$行偶数个数$(n-1)\times n /2 -p$