同余

同余

一.定理

• $a \equiv b~ (mod ~m) ~ \Leftrightarrow~ a-b=mt$
• $a \equiv b~ (mod ~m) ~ \Leftrightarrow~ b \equiv a~ (mod ~m)$
• $a\equiv b ~ (mod~ m) ~ c\equiv b ~ (mod ~m) \iff a\equiv c ~ (mod ~m)$
• $a\equiv b ~ (mod~ m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff a+c\equiv b+d ~ (mod ~ m)$
• $a\equiv b ~(mod ~ m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff a-c\equiv b-d ~ (mod ~ m)$
• $a \equiv b ~ (mod ~ m) ~ c\equiv d ~ (mod ~ m) \iff a * c \equiv b*d ~ (mod ~ m)$

二.推论

• 若 $a \equiv b ~ (mod ~ m)$ ， $n$为自然数 ，则 $a*n \equiv b * n ~ (mod ~ m)$ 。

• 若 $a \equiv b ~ (mod ~m)$ ，$n$为自然数 ，则 $a^n \equiv b^n ~ (mod ~ m)$ 。

• 若 $c * a\equiv c * b ~ (mod ~ m) , gcd(c,m)=d$ ，且 $a,b,c,m$为整数，则 $a\equiv b ~(mod ~ \frac{m}{d})$。

  证明 ：
  显然 $m | c(a-b) \iff m|d * (c / d) * (a-b)$ 且 $m \perp (c / d)$
  所以 $\frac{m}{d}|a-b \iff a \equiv b~(mod ~ \frac{m}d)$

• 若 $c * a\equiv c * b ~ (mod ~ m) , gcd(c,m)=1$ ，且 $a,b,c,m$为整数，则 $a\equiv b ~(mod ~ {m})$。

• 若 $a\equiv b ~ (mod ~ m) ,\exists d|m$ ，则 $a\equiv b ~(mod ~ {d})$。
  证明：
  易得 $m|a-b$
  由于 $a-b$ 中必有m的全部因子，所以显然 $d|a-b$
  所以 $a\equiv b ~(mod ~ {d})$

• 若 $a\equiv b ~ (mod ~ m),a\equiv b ~ (mod ~ n)$，则 $a\equiv b ~ (mod ~ lcm(n,m))$
  证明：
  设 $d=gcd(n,m) ~ m=x * d ~ n=y * d ~ lcm(n,m)=x * y * d$
  $\iff x * d|a-b,y * d|a-b$
  $\iff x * y * d|a-b$
  $\iff lcm(n,m)|a-b$
  $\iff a\equiv b ~(mod ~ lcm(n,m))$
• 若 $a\equiv b ~ (mod ~ m_i),i=1,2,3,....,n$ 则 $a\equiv b ~ (mod~lcm(m_1,m_2,..,m_n))$

• $a\equiv b ~ (mod ~ m) \Rightarrow a * k\equiv b * k ~(mod ~ m * k)$
  证明：
  $\Rightarrow m|a-b \Rightarrow m * k|a * k-b * k \iff a * k\equiv b * k ~(mod ~ m * k)$

• $a\equiv b ~ (mod~m) \Rightarrow gcd(a,m)=gcd(b,m)$
  证明：
  $\gcd(a,m)=\gcd(m,a \bmod m)$ 且 $\gcd(b,m)=\gcd(m,b \bmod m)$
  $\because a\equiv b ~ (mod~m)$
  $\therefore a%m=b%m$
  $\therefore gcd(a,m)=gcd(b,m)$

6.完全平方数模的特征

• 完全平方数模 $4$ 同余于 $0,1$

• 完全平方数模 $8$ 同余于 $0,1,4$

• 完全立方数模 $9$ 同余于 $0,1,-1$

• 整数的四次幂模 $16$ 同余于 $0,1$