瓶颈生成树概念小普及

瓶颈生成树概念&性质
无向图G的一颗瓶颈生成树是这样的一颗生成树，它最大的边权值在G的所有生成树中是最小的。瓶颈生成树的值为T中最大权值边的权。

有关性质：
最小生成树一定是瓶颈生成树，瓶颈生成树不一定是最小生成树。

证明：
对于前者，我们假设最小生成树不是瓶颈生成树。
则最小生成树的最大边e1大于瓶颈生成树e2.
因为瓶颈生成树中，e2是最大边，
则瓶颈生成树的每一条边ek＜e1.
此时最小生成树中若去掉最大边e1，则一定有瓶颈生成树上的一边代替这条最大边，
此时有比最小生成树不是最小的生成树，
与假设矛盾。
∴最小生成树一定是瓶颈生成树。
对于后者，采用举反例法来进行证明，且反例如图所示：

 

 

∴瓶颈生成树不一定是最小生成树。

当然，我也没看懂，下午翻翻离散数学