数论模运算以及快速幂小解

来到数论王国，一切都得重新开始啦

模运算，顾名思义，对一个数进行取模运算，在大数运算中，模运算是常客

如果一个数太大无法直接输出，或者是不需要直接输出，可以对他进行取模缩小数值在输出

我们习惯这样写：a%b=c

取模的结果一般满足于0<=c<=m-1,m一般是题目给的数据范围

而对于取模操作，满足一下的性质：

(a+b)%c=((a%c)+(b%c))%c;

(a-b)%c=((a%c)-(b%c))%c;

(a*b)%c=((a%c)*(b%c))%c;

而除法就不行了，除法如果进行上面的取模操作是错误的，

那怎么办呢？对于除法取模操作，在同余和逆元中会展开讲解，这里我李某人先讲讲所谓的基本数论操作

那取模运算我们就算讲完了，接下来我们来讲讲所谓的快速幂运算

幂运算我们老生常谈，而快速幂就为了快速解决幂次运算的，当一个数很大的时候进行幂次运算的时候，一般两种情况：要么炸，要么超时

我们可以采取一下两种办法来解决这个问题：

一、

我们可以很容易想到，先算a^2,在a^2^2，一直算到结束，我们可以用递归分治的思想来解决

long long fastpow(long long a,long long b)
{
    if(b==0)
    return 1;
    long long temp=(fastpow(a,b/2));//分治递归了
    if(b%2==1)//如果是奇数次，还要多乘一个
    return (temp*temp*a);
    else //偶数次正好乘完
    return (temp*temp);
}

这种方法是较为好想到的；

我们再来介绍另外一种方法--其实也是老生常谈了，只不过换了一个形式--我们在多重背包中所见的二进制优化

将a^11分解成a^8,a^2,a^1的乘积

而a^2=a^1*a^1,a^4=a^2*a^2；

a^8同理，都是二的倍数，产生的a^i都是倍数关系，一步一步递归就可以了

另一方面，我们在分解像n这样的数字的时候，我们也可以采取二进制的思想，我们很清楚 ，对于二进制来说，二进制的前一位数字的值都比低一位的数字的值多2倍；

举个例子来讲；

我们用10进制来表示11；

那对应的2进制就是1011；

就可以表示成2^3+2^1+2^0

还有一个需要考虑的是，对于二进制中的0，我们可以采用二进制中的位运算的方法来跳过：

（1）n&1,如果不是1，就直接跳了就🆗了；

（2）n>>=1，和n<<=1的功能是相反的，那个是向左位运算，相当于每次进行二次方，而这次是向右运算，相当于每次缩小2次方

long long fastpow(long long a,long long b)
{
    long long base=a;//底数
    long long res=1;//结果
    while(b)
    {
        if(b&1)//如果这一位是，就要对结果进行累乘了
            res=(base*res）;

        base=(base*base);//递推运算，a^2->a^4->a^8->a^16
        b=b>>=1;//进行位移运算
    }
    return res;
}

而对于快速幂取模

在快速幂进行取模操作，直接对a^n取模，和先对a取模在做幂次操作的效果是相同的；

所以快速幂取模有这样的性质：a^n%b=(a%b)^n%b;

讲了这么多，拿个题练练手

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

题目的两种解法：

一、递归分治法：

 1 #include<bits/stdc++.h>//快速幂分治递归法 
 2 using namespace std;
 3 long long  a,b,p; 
 4 long long fastpow(long long a,long long b)
 5 {
 6     if(b==0)
 7     return 1;
 8     long long temp=(fastpow(a,b/2));
 9     if(b%2==1)
10     return (temp%p*temp%p*a%p)%p;
11     else 
12     return (temp%p*temp%p)%p;
13 }
14 int main()
15 {
16     std::ios::sync_with_stdio(false);
17     cin>>a>>b>>p;
18     long long ans=fastpow(a,b);
19     ans=ans%p;
20     printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",a,b,p,ans);
21     return 0;
22 }

快速幂二进制优化:

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 long long a,b,p;
 4 long long ans;
 5 long long fastpow(long long a,long long b)
 6 {
 7     long long base=a;
 8     long long res=1;
 9     while(b)
10     {
11         if(b&1)
12             res=(base%p*res%p)%p;
13         base=(base%p*base%p)%p;
14         b=b>>=1;
15     }
16     return res;
17 }
18 int main()
19 {
20     std::ios::sync_with_stdio(false);
21     cin>>a>>b>>p;
22     long long ans=fastpow(a,b);
23     ans=ans%p;
24     printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",a,b,p,ans);
25     return 0;
26     
27 }

 

 

 而对于快速幂来讲，还有一个很重要的应用，就是快速幂矩阵运算，这个嘛，卖个关子，明天再讲，哈哈哈

 

posted @ 2022-04-14 21:23  江上舟摇  阅读(253)  评论(0)  编辑  收藏  举报