洛谷 P1216 [USACO1.5][IOI1994]数字三角形 Number Triangles

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1216；

有两种思路：递推和记忆化搜索。

先说递推：

我们采取从底到上的遍历思路，这样相比于从上往下更可节省时间，不至于造成TLE，所以dp【i】【j】就表示第i层第j个数开始往下走的数字和。

具体代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int r;
 int dp[1010][1010];//第i层第j个数字开始向下走的数字和 
 int a[1010][1010];//第i层第j个数字 
 int main()
 {
     ios::sync_with_stdio(false);
     cin>>r;
     for(int i=0;i<r;i++)//杨辉三角的输入形式 
     for(int j=0;j<=i;j++)
     cin>>a[i][j];
     for(int j=0;j<r;j++)
     dp[r-1][j]=a[r-1][j];//先计算底部 
     for(int i=r-2;i>=0;i--)//从倒数第二层向上到第一层 
     {
         for(int j=0;j<=i;j++)
         {
             dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];//从左边上来或者是从右边上来，取其大 
         }
    }
    cout<<dp[0][0]<<endl;
     return 0;
 }

当然，我们可以引入记忆化搜索：

因为在测试样例中我们可以看到第三行第二列的1是被重复递归的，因为从它左上边的3递归计算下来之后，从8下来也被重复递归计算，这样就会造成时间上的浪费，应用了记忆化搜索则会减少这一流程的时间。

#include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int r;
 int dp[1010][1010];//第i层第j个数字开始向下走的数字和 
 int a[1010][1010];//第i层第j个数字 
 int dfs(int i,int j)
 {
     if(i==r-1)//边界条件，到了最底层 
     return a[i][j];
     if(dp[i][j]>0)//记忆化标记，初始值是0，如果大于0就不用在重复递归计算了 
     return dp[i][j];
     return dp[i][j]=max(dfs(i+1,j),dfs(i+1,j+1))+a[i][j];
 }
 int main()
 {
     ios::sync_with_stdio(false);
     cin>>r;
     for(int i=0;i<r;i++)//杨辉三角的输入形式 
     for(int j=0;j<=i;j++)
     cin>>a[i][j];
     dfs(0,0);//执行递归一直到最底部然后返回到dp[0][0] 
     cout<<dp[0][0]<<endl;
     return 0;
 }