约瑟夫环问题

做约瑟夫的时候被难住了一次，第一次写博客就拿约瑟夫开刀吧（坏笑），并且在网上找到的约瑟夫题解有些迷茫（我是算法小zz），所以发表一下我的见解

首先认识一下什么是约瑟夫问题：

n 个人的编号是 1~n，如果他们依编号按顺时针排成一个圆圈，从编号是1的人开始顺时针报数。
　　（报数是从1报起）当报到 k 的时候，这个人就退出游戏圈。下一个人重新从1开始报数。
　　求最后剩下的人的编号。这就是著名的约瑟夫环问题。

　　本题目就是已知 n，k 的情况下，求最后剩下的人的编号。

　　题目的输入是一行，2个空格分开的整数n, k
　　要求输出一个整数，表示最后剩下的人的编号。

对于这种问题，我们可以把这这个类比成一个圆桌，每次删除固定的元素然后一直到只剩下一个元素为止，在输出这个元素

我们可以采取STL函数库中的vector，用动态数组解决这个问题，代码如下

：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
　　int n,m;
　　cin>>n>>m;
　　vector<int>a;
　　int i;
　　a.clear();
　　for(i=0;i<n;i++)
　　a.push_back(i+1);
　　int pos=0;
　　for(i=0;i<n;i++)
{
　　pos=(pos+m-1)%a.size();
　　a.erase(a.begin()+pos);
　　　　if(a.size()==1)
{
　　cout<<a[0]<<endl;
　　break;
　　}
　　　　}

return 0;
}

 

 

但是很遗憾，两个平台都给的是TLE，这是为什么呢？

其实很容易相同，在一个循环中频繁的删除元素，就要把这个元素的后面所有元素向后移或者前移动，多次移动就会导致效率很低，所以不得不思考别的解法；

分析一下：

对于任意的n,k；

我们可以设置f(q)为每次踢出第q个人最后的结果

：

0 1 2 3 4 5 6 .... n-1;

q q+1 q+2...........q-2（我们要kick off的是q+1这位兄台）；

再次重复一下，将新的被杀的后一个人作为新的0号，于是新的如下：

0 1 2 3 4 5 .......n-2；

递推一下：

然后在想，

先是n个人玩这个游戏，编号从0->n-1，数m退出，当第一个m-1号人退出后，就变成了n-1个人玩这个游戏了，将这n-1个人重新编号，如图，会发现是由（原来的编号 - m）得到这重新编的号。那么这时问题变成了n-1个人玩这个游戏了，设f(n)表示n个人数m退出时问题的解，那么f(n-1)是n-1个人数m退出时问题的解，假设f(n-1)已求出，那么：
　f( n ) = f(n - 1) + m;
　并且是循环删除，所以
　　f( n ) = (f(n - 1) + m)%n;
　　那么,当得知f(n-2)的解时，反推至f(n-1)时，需要编号不超过n-1,因此等式为：
　　f（n-1）=(f(n-2) + m) % n-1;
　　那么推广到一般：f( n ) = (f (in- 1) + m )% n;
到最后剩下一个人的时候直接输出下标0就可以啦；

附上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int yuesefu(int n,int m)
{
    if(n==1)
    return 0;
    else
    return ((yuesefu(n-1,m)+m)%n);
}
int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    cout<<yuesefu(n,k)+1<<endl;
    return 0;
}