【LA3126 训练指南】出租车 【DAG最小路径覆盖】
题意
你在一座城市里负责一个大型活动的接待工作。明天将有m位客人从城市的不同的位置出发，到达他们各自的目的地。已知每个人的出发时间，出发地点和目的地。你的任务是用尽量少的出租车送他们，使得每次出租车接客人时，至少能提前一分钟到达他所在的位置。注意，为了满足这一条件，要么这位客人是这辆出租车接送的第一个人，要么在接送完上一个客人后，有足够的时间从上一个目的地开到这里。
为了简单起见，假定城区是网格型的，地址用坐标(x,y)表示，出租车从(x1,y1)到(x2,y2)处需要行驶|x1-x2|+|y1-y2|分钟。
分析
这个模型叫做DAG的最小路径覆盖。所谓最小路径覆盖，就是在图中找尽量少的路径，使得每个结点恰好在一条路径上（换句话说，不同的路径不能有公共点）。注意，单独的一个结点也可以作为一条路径。
DAG最小路径覆盖的解法如下：把所有的结点i拆为X结点i和Y结点i‘，如果图G中存在有向边i->j，则二分图中引入边i->j'。设二分图的最大匹配数为m，则结果就是n-m。因为匹配和路径覆盖是一一对应的。对于路径覆盖中的每条简单路径，除了最后一个“结尾结点”以外都有唯一的后继和他对应（既匹配结点），因此匹配数就是非结尾结点的个数，当匹配数达到最大时，此时，结尾结点的个数最少，既路径条数最少。
本题建模：每个客人是一个结点，如果同一个出租车接完客人u以后还来得及接客人v，连边u->v。不难发现，这个图是一个DAG，并且它的最小路径覆盖就是本题的答案。
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 #include <queue> 6 #include <cmath> 7 8 using namespace std; 9 const int maxn=3000+10; 10 const int maxm=800000; 11 const int INF=2147483600; 12 struct Dinic{ 13 int head[maxn],Next[maxm],to[maxm],cap[maxm],flow[maxm]; 14 int sz,n,m,s,t; 15 bool vis[maxn]; 16 int cur[maxn],d[maxn]; 17 void init(int n){ 18 this->n=n; 19 memset(head,-1,sizeof(head)); 20 this->sz=-1; 21 } 22 void add_edge(int a,int b,int c){ 23 ++sz; 24 to[sz]=b; 25 cap[sz]=c;flow[sz]=0; 26 Next[sz]=head[a];head[a]=sz; 27 ++sz; 28 to[sz]=a; 29 cap[sz]=c;flow[sz]=c; 30 Next[sz]=head[b];head[b]=sz; 31 } 32 bool BFS(){ 33 memset(vis,0,sizeof(vis)); 34 queue<int>Q; 35 vis[s]=1; 36 d[s]=0; 37 Q.push(s); 38 while(!Q.empty()){ 39 int u=Q.front();Q.pop(); 40 for(int i=head[u];i!=-1;i=Next[i]){ 41 int v=to[i]; 42 if(!vis[v]&&cap[i]>flow[i]){ 43 vis[v]=1; 44 d[v]=d[u]+1; 45 Q.push(v); 46 } 47 } 48 } 49 return vis[t]; 50 } 51 int DFS(int x,int a){ 52 if(x==t||a==0)return a; 53 int Flow=0,f; 54 for(int& i=cur[x];i!=-1;i=Next[i]){ 55 int v=to[i]; 56 if(d[v]==d[x]+1&&(f=DFS(v,min(a,cap[i]-flow[i])))>0){ 57 Flow+=f; 58 flow[i]+=f; 59 flow[i^1]-=f; 60 a-=f; 61 if(a==0)break; 62 } 63 } 64 return Flow; 65 } 66 int Maxflow(int s,int t){ 67 this->s=s,this->t=t; 68 int Flow=0; 69 while(BFS()){ 70 for(int i=0;i<=n;i++) 71 cur[i]=head[i]; 72 73 Flow+=DFS(s,INF); 74 } 75 return Flow; 76 } 77 }dinic; 78 int T,m; 79 int sth[maxn],stm[maxn],sx[maxn],sy[maxn],enx[maxn],eny[maxn]; 80 int dist(int x1,int y1,int x2,int y2){ 81 return abs(x1-x2)+abs(y1-y2); 82 } 83 void pass_time(int hou,int mi,int &Hou,int &Mi,int tim){ 84 Mi=mi+tim; 85 Hou=hou+Mi/60; 86 Mi=Mi%60; 87 return; 88 } 89 int main(){ 90 scanf("%d",&T); 91 for(int t=1;t<=T;t++){ 92 scanf("%d",&m); 93 dinic.init(2*m+5); 94 for(int i=1;i<=m;i++){ 95 scanf("%d:%d%d%d%d%d",&sth[i],&stm[i],&sx[i],&sy[i],&enx[i],&eny[i]); 96 } 97 98 for(int i=1;i<=m;i++){ 99 for(int j=1;j<=m;j++){ 100 int tim=dist(sx[i],sy[i],enx[i],eny[i])+dist(enx[i],eny[i],sx[j],sy[j]); 101 int Enh,Enm; 102 pass_time(sth[i],stm[i],Enh,Enm,tim); 103 if(Enh*60+Enm>=sth[j]*60+stm[j])continue; 104 dinic.add_edge(i,j+m,1); 105 } 106 } 107 for(int i=1;i<=m;i++) 108 dinic.add_edge(0,i,1); 109 for(int i=1;i<=m;i++) 110 dinic.add_edge(i+m,2*m+1,1); 111 int ans=dinic.Maxflow(0,2*m+1); 112 printf("%d\n",m-ans); 113 114 } 115 return 0; 116 }
