Fibonacci数列
Fibonacci数列
Fibonacci数列是一个很常见的递推数列，也称"兔子数列"。Fibonacci数列中蕴含很多信息，比如"黄金分割"就蕴含在Fibonacci数列中。
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一.递推公式
F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n − 1 + F n − 2 ( n ≥ 2 ) \begin{array}{l} F_{0}=0 \\ F_{1}=1 \\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}(\mathrm{n} \geq 2) \end{array} F0=0F1=1Fn=Fn−1+Fn−2(n≥2)
斐波那契数：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…
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特别指出：0不是第一项，而是第零项
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当n趋于无穷大时，相邻两个数的比值 F ( n ) / F ( n − 1 ) − > 0.6180339887... F(n)/F(n-1)->0.618 033 988 7... F(n)/F(n−1)−>0.6180339887...这就是著名的黄金分割数。
二.计算Fibonacci数列
两个问题：
- 如何更快地计算第n个Fibonacci数列
- Fibonacci数增长太快了，需要处理大数
1.递归方式
class Solution:
def fib(self,n):
"""
:param n: int
:return: int
"""
if n==0:
return 0
if n==1:
return 1
return self.fib(n-1)+self.fib(n-2)
2.记忆化递归
图片链接：链接
class Solution:
def fib(self,n):
if n==0 or n==1:
return n
nums = [-1]*(n+1)
nums[0]=0
nums[1]=1
def helper(n,nums):
if nums[n]>=0:
return nums[n]
nums[n]=helper(n-1,nums)+helper(n-2,nums)
return nums[n]
helper(n,nums)
return nums[n]
3.动态规划
class Solution:
def fib(self, n: int) -> int:
a, b = 0, 1
for _ in range(n):
a, b = b, a + b
return a % 1000000007
以下两种方法可以参考：斐波那契数列
4.初等代数解法
5.线性代数(矩阵)
以上两种解法的结果都是一样的，使用：
F n = 5 5 ⋅ [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] F_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right] Fn=55⋅[(21+5)n−(21−5)n]
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding:utf-8 -*-
# author:LQ6H
class Solution:
def Fib(self,n):
import math
if n==0 or n==1:
return n
a = math.sqrt(5)
res = a/5*(((1+a)/2)**n-((1-a)/2)**n)
return int(res)%1000000007
三.应用模型
两个常见的例子：
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楼梯问题
:::info
有一楼梯共N级，刚开始人在第一级，若每次只能跨上一级或两级，要走上第N级，共有多少种走法？
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:::info
假设到第n级总共的走法为F(n)。如何到达第n级？可以分成两种情况： -
第一次跳1级，剩下n-1个台阶，跳法是F(n-1)
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第一次跳2级，剩下n-2个台阶，跳法是F(n-2)
即：F(n)=F(n-1) + F(n-2)。这是一个Fibonacci数列
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题目链接：爬楼梯
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- 矩形覆盖问题
:::info
用2x1的小矩形覆盖2n个大矩形，总共有多少种方法？
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:::info
假设方法总共有F(n)，分成两种情况：
- 第一次放1格，剩下n-1个格子，方法有F(n-1)种
- 第一次放2格，剩下n-2个格子，方法有F(n-2)种
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